效用函数与消费者最优选择

序数效用与单调变换

效用函数：给每个消费束赋数值、数值大小反映偏好排序的函数。若消费者觉得 \((x_1,x_2)\) 严格好于 \((y_1,y_2)\)，就给前者赋更高的效用值。

序数效用：效用赋值的唯一重要性能是它对消费束的排序，两个消费束效用值差额有多大并不重要。三种赋值 U1(A=3, B=2, C=1)、U2(A=17, B=10, C=0.002)、U3(A=-1, B=-2, C=-3) 都告诉同一件事：A 最好、B 居中、C 最差，因此都有效。

基数效用：认为效用的差值也有意义。本课程放弃基数效用：没有好方法为基数效用赋值，消费者无法诚实报告"喜欢 A 的程度是否恰好是 B 的两倍"；分析选择行为只需要知道"A 比 B 好"，不需要知道"好多少"。

单调变换：若 \(f\) 是严格增函数，则 \(v(x_1,x_2)=f(u(x_1,x_2))\) 代表与原效用函数相同的偏好。单调变换保持大小顺序，消费束的排序不变。

从偏好构造效用函数：画一条从原点出发的对角线，测量对角线与每条无差异曲线交点到原点的距离，把距离标为效用值。偏好有循环时无法用效用函数表示。

常见效用函数

完全替代：\(u(x_1,x_2)=ax_1+bx_2\)，无差异曲线斜率为 \(-a/b\)。

完全互补：\(u(x_1,x_2)=\min\{ax_1,bx_2\}\)，效用取决于比例中较小的那个。

拟线性偏好：\(u(x_1,x_2)=v(x_1)+x_2\)。所有无差异曲线可由其中一条垂直移动得到；效用函数对商品 2 线性、对商品 1 非线性。拟线性效用不符合多数现实情形，但容易分析，后续问题常假设之。

柯布-道格拉斯偏好：\(u(x_1,x_2)=x_1^c x_2^d\)，\(c>0\)、\(d>0\)，产生标准良好性状的无差异曲线。常用单调变换一为取对数 \(v=c\ln x_1+d\ln x_2\)；常用单调变换二为整体乘方 \(1/(c+d)\)，得 \(v(x_1,x_2)=x_1^{a}x_2^{1-a}\)。指数之和为 1 时，\(a\) 是消费者花在商品 1 上的收入比例。

边际效用与 MRS

边际效用：其他商品数量保持不变时，给消费者稍微多一点商品 1 引起效用的变化率，\(MU_1=\frac{\Delta U}{\Delta x_1}\)。商品 1 的变化是微小量，\(\Delta U=MU_1\Delta x_1\)。

边际效用的量值取决于效用函数选择：效用函数可做任意单调变换，边际效用的量值随之改变。边际效用的大小不是观察得到的东西。

边际效用与 MRS 的关系：沿同一条无差异曲线移动时总效用不变，\(MU_1\Delta x_1+MU_2\Delta x_2=0\)，整理得 \(MRS_{12}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}=-\frac{MU_1}{MU_2}\)。边际效用的比率与效用函数的特定变换无关，因为单调变换只改变 MU 的量值、不改变无差异曲线的形状。

最优选择的内点条件

最优选择：在预算集内使效用最大的消费束。若无差异曲线严格凸，每条预算线上恰有一个最优点。

内部最优条件：在内部最优点，\(MRS = \frac{p_1}{p_2}\)。

经济含义：市场提供给消费者的交换比率是 \(p_1/p_2\)，消费者自身愿意的交换比率是 MRS。若 \(MRS < p_1/p_2\)，消费者卖出商品 1 以换取更多商品 2；若 \(MRS > p_1/p_2\)，消费者卖出商品 2 以换取更多商品 1。最优时消费者恰好既不愿意买也不愿意卖。

角点解：内部切点条件不适用时，最优点位于预算线端点，只买一种商品，常见于完全替代、中性商品与厌恶品、凹偏好等情形。无差异曲线没有切线（完全互补的拐角、离散商品）时切点条件同样不适用。

标准偏好下的最优选择

完全替代：需求函数分段。\(p_1 < p_2\) 时 \(x_1 = m/p_1\)；\(p_1 = p_2\) 时 \(x_1 \in [0, m/p_1]\) 任意；\(p_1 > p_2\) 时 \(x_1 = 0\)。

完全互补：最优选择在对角线上，\(x_1 = x_2\)。由 \(p_1x+p_2x = m\) 解得 \(x = m/(p_1+p_2)\)。

中性商品与厌恶品：消费束含中性商品或厌恶品时，消费者把全部资金用于喜欢的商品，中性商品与厌恶品的购买量为 0。

凹偏好：端点好于平均数，最优选择总是边界选择。常规分析默认凸偏好。

离散商品：只能按整数单位购买的商品，无法购买 1.5、2.3 个单位。设定商品 2 为花费在其他所有商品上的复合商品，价格 \(p_2 = 1\)，预算约束为 \(x_2 = m - p_1x_1\)。求解方法：只比较 \(x_1\) 取不同整数时消费束的效用，选择效用最高的那个。实用规则：从 0、1、2、3、4 逐个比较，若 3→4 效用上升、4→5 效用下降，则 4 为最优，不必再比较更大的整数。

柯布-道格拉斯偏好：对 \(u = x_1^c x_2^d\) 取对数后用拉格朗日法求解，一阶条件为 \(c/x_1 = \lambda p_1\)、\(d/x_2 = \lambda p_2\) 与预算约束，解得 \(x_1 = \frac{c}{c+d}\cdot\frac{m}{p_1}\)、\(x_2 = \frac{d}{c+d}\cdot\frac{m}{p_2}\)。消费者花在每种商品上的资金占收入的比例固定；指数之和为 1 时，\(c\)、\(d\) 分别是两种商品的支出份额。

需求函数

需求函数：商品最优数量是价格与收入的函数，\(x_1 = x_1(p_1, p_2, m)\)、\(x_2 = x_2(p_1, p_2, m)\)。价格或收入改变时最优选择随之改变。

税种选择：从量税与所得税

从量税对每单位商品征税，征税后预算线为 \((p_1 + t)x_1 + p_2x_2 = m\)，税收总收入 \(R^* = tx_1^*\)。所得税对收入征税，收入为 \(m - tx_1^*\)，预算线为 \(p_1x_1 + p_2x_2 = m - tx_1^*\)。

两种税税收总额同为 \(R^*\) 时，所得税下的最优消费束位于更高的无差异曲线上，消费者状况更好，故政府应征所得税。直觉：从量税改变相对价格、扭曲选择，所得税只降低收入、不改变 MRS 条件。

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