斯勒茨基方程与禀赋模型

替代效应与收入效应

替代效应：实际购买力（实际收入）不变时，因两种商品交换比率（相对价格）变化引起的需求变化。

收入效应：相对价格不变时，因购买力（实际收入）变化引起的需求变化。

分解步骤：预算线先绕原来的最优选择转动（反映新的相对价格，同时保持购买力不变，得到替代效应），再平移至最终预算线（反映购买力变化，得到收入效应）。

调整货币收入的公式：设 \(m'\) 为恰好能买得起原消费束的货币收入，\(m=p_1x_1+p_2x_2\)，\(m'=p_1'x_1+p_2x_2\)，相减得 \(\Delta m = m'-m = x_1\Delta p_1\)。例：每周消费 20 块糖、每块 0.5 美元，糖价上升 0.1 美元，\(\Delta m = 0.1 \times 20 = 2\)，收入应增加 2 美元。

斯勒茨基恒等式：\(\Delta x_1=\Delta x_1^s+\Delta x_1^n\)。总效应（价格效应）为 Z 减 X，替代效应为新价格加调整后收入下 Y 减 X，收入效应为新价格加原收入下 Z 减 Y。

符号分析：替代效应与商品是正常品还是劣等品无关，运动方向总与价格相反。正常品收入效应与价格反向，总效应为负，需求曲线右下倾斜。劣等品收入效应与价格同向，与替代效应相互抵消，总效应符号不定。劣等品中收入效应大于替代效应时为吉芬商品：价格上升、需求增加。

变化率形式的斯勒茨基方程与需求定律

变化率形式的斯勒茨基方程：利用 \(\Delta m = x_1 \Delta p_1\)，把收入效应项的分母换成收入变动：

\[\frac{\Delta x_1}{\Delta p_1} = \frac{\Delta x_1^s}{\Delta p_1} - x_1 \frac{\Delta x_1^m}{\Delta m}\]

正常品情形三项都为负；劣等品情形替代效应为负、收入效应为正，总效应符号不定。

需求定律：如果收入增加时某种商品的需求增加，那么价格上升时该商品的需求必然下降。替代效应一定为负；"收入增加时需求增加"说明该商品是正常品，收入效应也为负，总效应必为负。需求定律对正常品必然成立；对劣等品不保证成立。

特殊偏好下的分解

三种特殊偏好的共同点是某一个效应为零。

完全互补：价格下降后绕原最优点转动，新的最优点仍在拐角处，替代效应为零，总效应全部由收入效应带来。两种商品完全无法相互替代。

完全替代：价格下降到一定程度后，绕原最优点转动时预算线直接转到最终位置，不需要再平移，收入效应为零，总效应等于替代效应。

拟线性偏好：商品 1 的消费量与收入无关，平移不改变商品 1 的最优消费量，收入效应为零，总效应等于替代效应。

希克斯替代效应与补偿需求曲线

斯勒茨基替代效应保持购买力不变，消费者恰好还买得起原来的消费束，预算线绕原最优点旋转。希克斯替代效应保持效用不变，消费者恰好还能达到原来的满足程度，预算线绕原来的无差异曲线旋转并与之相切。

希克斯替代效应必为负：原、新两个最优点同处一条无差异曲线，互不直接显示偏好。设价格为 \((p_1,1)\) 与 \((p_1',1)\)，两点为 X、Y，由买不起对方写出 \(p_1(x_1-y_1) < y_2 - x_2\) 与 \(p_1'(x_1-y_1) > y_2 - x_2\)，合并得 \((p_1 - p_1')(x_1 - y_1) < 0\)，价格变化与需求量变化方向相反。

补偿需求曲线：把不同价格下保持效用不变的最优点连起来，又称希克斯需求曲线，消费者效用处处相等。普通需求曲线对应总的价格效应，补偿需求曲线只反映替代效应部分。

禀赋、净需求与预算约束

禀赋：消费者进入市场之前就拥有的商品数量，记为 \((\omega_1, \omega_2)\)。

总需求：消费者最终实际消费的商品数量 \((x_1, x_2)\)。净需求：总需求减去初始禀赋 \((x_1-\omega_1,\ x_2-\omega_2)\)，可正可负；商品 1 净需求为负时消费者是商品 1 的净供给者。

预算约束：带回家的商品束价值等于带到市场的禀赋束价值，\(p_1 x_1 + p_2 x_2 = p_1 \omega_1 + p_2 \omega_2 = m\)；等价地写成净需求形式 \(p_1(x_1-\omega_1) + p_2(x_2-\omega_2) = 0\)。

两个推论：禀赋束一定在预算线上（不进行任何交换也是可行选择），画预算线必须先过禀赋点、再取斜率为 \(-p_1/p_2\)；消费者不可能同时是两种商品的净购买者。

禀赋变动（价格不变）时新预算线仍过新禀赋点、斜率不变，整条线平行移动。价格变动（有禀赋时）预算线绕禀赋点旋转，因为收入 \(m = p_1\omega_1 + p_2\omega_2\) 本身随价格变动。

福利结论：降价前、后都是商品 1 的供给者，价格下降后状况一定变差（卖的东西变得不值钱了）；降价前是购买者，降价后仍继续作为购买者，不会转而出售。

价格提供曲线必经过禀赋点：存在一个价格 \(p_1^*\) 使无差异曲线与预算线正好切于禀赋点，此时消费者不买不卖。净需求函数 \(d_1(p_1,p_2) = \max\{x_1 - \omega_1,\ 0\}\)，净供给函数 \(s_1(p_1,p_2) = \max\{\omega_1 - x_1,\ 0\}\)。

修正的斯勒茨基方程

修正的斯勒茨基方程：消费者拥有禀赋时，价格变动会改变禀赋的价值，从而改变货币收入：

\[\frac{\Delta x_1}{\Delta p_1} = \frac{\Delta x_1^s}{\Delta p_1} + (\omega_1 - x_1)\frac{\Delta x_1^m}{\Delta m}\]

普通收入效应：价格下降时货币收入不变、实际购买力上升。禀赋收入效应：价格变动改变出售禀赋所得的收入，进而改变需求量。推导起点为 \(m = p_1\omega_1 + p_2\omega_2\)，故 \(\Delta m/\Delta p_1 = \omega_1\)；禀赋收入效应 \(= \frac{\Delta x_1^m}{\Delta m} \omega_1\)。最终形式中 \(\omega_1 - x_1\) 为净需求量：购买者该项为负，供给者为正。没有禀赋时该项消失，回到普通斯勒茨基方程。

符号判定：替代效应方向恒与价格变动相反；普通收入效应对正常品为正；\(\omega_1 - x_1\) 的符号取决于市场身份。正常品的出售者总效应符号不确定；正常品的购买者整式为负，方向确定。

奶农例题：奶农每周生产 40 单位牛奶，需求 \(x = 10 + m/(10p_1)\)，牛奶价格从 3 元降到 2 元。替代效应 +1.3（收入调整为 106，需求 15.3）；普通收入效应 +0.7（货币收入保持 120，需求 16）；禀赋收入效应 -2（禀赋价值降为 80，需求 14）。三效应合计为 0，最终消费仍为 14。

劳动供给

非劳动收入：消费者初始收入 \(M\)，与是否劳动无关。预算线：\(pC = M + wL\)，即消费的商品价值等于劳动收入加非劳动收入。

禀赋形式：劳动供给量存在上限 \(\bar{L}\)。用闲暇时间 \(R = \bar{L} - L\) 替换劳动时间，得 \(pC + wR = p\bar{C} + w\bar{R}\)。消费者想要消费品 \(C\) 与闲暇 \(R\) 两种商品；闲暇的价格为 \(w\)，即闲暇的机会成本。预算线过禀赋点 \((\bar{R}, \bar{C})\)，斜率绝对值为 \(w/p\)。\(w/p\) 为实际工资率，衡量一小时工资的购买力。

非劳动收入增加（价格与工资率不变）：相对价格未变，没有替代效应，只剩禀赋收入效应；收入增加，闲暇是正常商品，故闲暇需求增加、劳动供给减少。

工资率上升：劳动报酬增加使禀赋价值增加，同时闲暇价格提高，两个方向相反的力量并存。修正的斯勒茨基方程（以闲暇为商品、\(w\) 为价格）：\(\Delta R/\Delta w =\) 替代效应 \(+ (\bar{R} - R)\,\Delta R/\Delta m\)。替代效应恒负；闲暇为正常品故 \(\Delta R/\Delta m > 0\)；\(\bar{R} - R > 0\)，第二项为正；总效应符号不确定。

向后弯折的个人劳动供给曲线：工资率较低时替代效应主导，涨工资使劳动供给增加；工资率超过某一点后收入效应主导，继续涨工资反而减少劳动供给。社会或市场劳动供给曲线向右上方倾斜，高工资吸引新的劳动力进入市场。

加班工资：基准小时工资不变，超出原工作时间（如 8 小时）的部分支付更高工资。新预算线为折线，从原最优点开始折弯。原最优点被直接显示偏好于原预算线上所有点；加班工资只改变原最优点左侧的预算集，原最优点仍在新的预算集中，新最优点必落在折出的更陡线段，工人必然工作更多且状况变好。

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