跨期选择与消费者福利

跨期选择与消费者福利

跨期选择的预算约束

跨期选择：消费者在多个时期之间分配消费的决策问题。两期模型中，\(c_1\)、\(c_2\) 为两期消费量，\(m_1\)、\(m_2\) 为两期货币收入，利率为 \(r\)。

终值形式：\((1+r)c_1 + c_2 = (1+r)m_1 + m_2\)，全部折算到时期 2。时期 1 消费的价格为 \(1+r\)，今天标价 1 元的消费放弃的是明天 \(1+r\) 元。

现值形式：\(c_1 + \frac{c_2}{1+r} = m_1 + \frac{m_2}{1+r}\)，全部折算到时期 1。消费方案的现值等于收入现值时方案可行。

波洛厄斯点：\(c_1 = m_1\)、\(c_2 = m_2\)，既不借债也不放债，该点永远在预算线上。预算线过禀赋点 \((m_1, m_2)\)，斜率绝对值 \(1+r\)。比较 \(c_1\) 与 \(m_1\)：\(c_1 > m_1\) 为借款者，\(c_1 < m_1\) 为储蓄者。

利率上升时预算线绕禀赋点旋转至更陡。储蓄者利率上升后必仍为储蓄者且状况变好；借款者若继续借款则状况变差，可能转为储蓄者。

实际利率与通货膨胀

实际利率：把名义利率按通货膨胀率调整后得到的利率，记为 \(\rho\)。设定第一期消费价格为 1，第二期价格 \(p_2 = 1 + \pi\)，预算约束为 \(c_2 = m_2 + \frac{1+r}{1+\pi}(m_1 - c_1)\)。定义式 \(1 + \rho = \frac{1+r}{1+\pi}\)，化简得 \(\rho = \frac{r - \pi}{1 + \pi}\)。通货膨胀率不大时用近似公式 \(\rho \approx r - \pi\)。

经济学含义：名义利率衡量额外得到多少钱，实际利率衡量额外得到多少消费。存 100 元、名义利率 2%，一年后拿到 102 元；若所有价格同时上涨 2%，实际消费没有增加，实际利率为 0。实际利率可以为负：名义利率 2%、通胀率 2.5% 时，存钱后买到的东西反而更少。

现值分析与投资决策

现值：把未来各期的货币流按利率折现到今天的价值。未来第 \(t\) 期的 1 元在今天的现值为 \(1/(1+r)^t\)。

多期推广：\(c_1 + \frac{c_2}{1+r} + \frac{c_3}{(1+r)^2} + \cdots + \frac{c_N}{(1+r)^{N-1}} = m_1 + \frac{m_2}{1+r} + \cdots + \frac{m_N}{(1+r)^{N-1}}\)。利率可变时，第 3 期的现金流逐期往回折，除以 \((1+r_2)(1+r_1)\)。

净现值（NPV）：每期先算净现金流（收入减支出），再折现加总，\(NPV = (m_1 - p_1) + \frac{m_2 - p_2}{1+r} + \frac{m_3 - p_3}{(1+r)^2} + \cdots\)。\(NPV > 0\) 做这项投资，因为它增加现金流；\(NPV < 0\) 不做。

收入偏好与消费偏好：只要可以借贷，收入现值越高越好；消费束不是现值越高越好，消费者喜欢平滑的消费。现值形式下，第 \(t\) 期消费的"价格"就是其系数 \(1/(1+r)^{t-1}\)。

债券估价与税收

债券：证券的一种，本质是发行方的借据，有政府债券与公司债券。债券每期偿还固定利息 \(X\)，到期时偿还票面价值 \(FV\)。利率固定不变时，债券的现值为：

现值大于价格就买，现值小于价格就不买。利息与票面价值不变时，利率上升使每个分母变大，债券现值下降，人们更不愿意购买。

统一公债（永续年金）：永久性每年支付 \(X\)、没有到期日的债券，现值 \(PV = \frac{X}{r}\)。

分期付款的月利率：借 1000 元、分 12 个月每月还 100 元，设月利率 \(r\) 满足 \(1000 = \sum_{t=1}^{12} \frac{100}{(1+r)^t}\)，解出的 \(r\) 即月利率。"多还 200 元即利率 20%"是错误算法，因为后还的钱要折现。

税收与利率：边际税率为 \(t\) 时，存款方税后利率为 \((1-t)r\)；借款方利息支付可抵扣税款，实际借款成本同为 \((1-t)r\)。处于相同税级的借款人与贷款人面对相同的税后利率。折现时：现金流存续期内价格平稳用名义利率；通货膨胀明显用实际利率；存在税收用税后利率。利率归根到底衡量资金的机会成本。

消费者剩余

保留价格 \(r_n\)：消费者对第 \(n\) 个单位商品 1 最高愿意支付的价格。拟线性效用 \(u = v(x) + y\) 下，保留价格等于第 \(n\) 个单位带来的边际效用，\(r_n = v(n) - v(n-1)\)；边际效用递减使保留价格序列递减。需求量为 \(N\) 当且仅当 \(r_N \ge P \ge r_{N+1}\)。

总收益：前 \(n\) 个保留价格之和 \(v(n) = r_1 + r_2 + \cdots + r_n\)，即 \(n\) 个单位商品带来的总效用。

消费者剩余（净）：\(CS = v(n) - nP\)，图形上是需求曲线与价格水平线之间围成的面积。第 \(i\) 个单位的剩余为 \(r_i - P\)，把 \(n\) 个单位的剩余相加同样得 \(CS = v(n) - nP\)。

消费者剩余是主观心理感受，不是实际拿到的一笔钱。它衡量让消费者放弃对某商品的全部消费必须补偿给他的货币量：买面包花 15 元、保留价格 40 元时，CS = 25 元，别人要拿走面包至少得出 40 元。

消费者剩余的变化：价格从 \(P'\) 升到 \(P''\) 时，CS 减少量 = 梯形面积，由两部分构成：长方形部分，仍继续购买的消费者每单位多付 \(P'' - P'\)；三角形部分，原购买者因价格超过保留价格而退出，原来的剩余完全消失。例：需求 \(q = 20 - 2P\)，价格从 2 上升到 3，\(q(2) = 16\)、\(q(3) = 14\)，CS 减少 = \(\frac{1}{2}(14 + 16) \times 1 = 15\)。

拟线性假设的局限：推导 CS 的前提是拟线性效用，其特殊性在于保留价格独立于收入。对消费量与收入密切相关的商品，CS 只是近似估计。CS 只反映总量或平均，不反映收益与损失的分布。

补偿变化与等价变化

补偿变化（CV）：使消费者回到初始无差异曲线上所必需的收入变化，度量政府必须给消费者多少额外货币才能准确补偿价格变动的影响。图形操作：用新相对价格的预算线平移至与初始无差异曲线相切，两条平行预算线之间的收入差额即为 CV。记忆：新价格斜率 + 老无差异曲线。

等价变化（EV）：价格变化之前必须从消费者那里拿走多少货币，才能让他的境况与价格变化之后一样，度量消费者为避免价格变动而愿意付出的最大收入量。图形操作：用老相对价格的预算线向内移动，直到它与变化后的无差异曲线相切。记忆：老价格斜率 + 新无差异曲线。

CV 与 EV 一般不相等：唯一区别是用哪条切线去量两条无差异曲线之间的距离，切点不同导致距离不同，涨价情形下 CV > EV。拟线性效用下 CV = EV：无差异曲线由同一条曲线上下平移得到，任意两条无差异曲线之间的距离处处相等。

生产者剩余

生产者剩余（PS）：销售者实际得到的销售收入减去他愿意接受的最低销售收入，即市场价格与供给曲线之间的面积。离散情形下，生产者以反供给价格 \(p_s(x)\) 卖出各单位，实际都按市场价 \(p^*\) 成交，差额之和即 PS。

PS 变动：价格上升时，原供给量上每单位 PS 增加（R 部分），新增供给量带来全新 PS（T 部分），两者合计为梯形面积。

总剩余：无政府参与时总剩余 = CS + PS；有政府等第三方参与并产生收入或支出时，总剩余 = CS + PS + 政府净收入。完全竞争、无任何干预的均衡已是效率最大化，所有福利损失的度量都以它为基准。

最高限价与配给制：限价低于均衡价时供给量下降、出现供不应求。若政府发行可交易配给券，券价为 \(p_e - p_c\)，消费者总支付 \(p_e\)，恰使市场出清。政府卖券收入 \((p_e - p_c) \times q_c\) 是实际收入、没有蒸发；若漏算政府收入，会把这块长方形误判为无谓损失。总剩余 = CS + PS + 政府收入，与"最高保留价者恰好买到"的情形相同，无谓损失同为右侧三角形。

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