货币时间价值

终值与现值

终值（future value, FV）是现在的一笔钱按利率投资后在未来时点上的价值。单期公式为 \(FV = C_0 \times (1 + r)\)，多期公式为 \(FV = C_0 \times (1 + r)^T\)。

现值（present value, PV）是未来现金流按折现率折算到今天的价值，是终值的逆运算：\(PV = C_1 / (1 + r)\)。现值是借款人今天需要预留、以确保到期履行支付承诺的金额。

折现率（discount rate）是把未来现金流折算成现值所用的利率，反映资金的机会成本与风险。

为什么付利息有三个原因：人们更偏好当前消费，推迟消费需要补偿；通货膨胀使货币购买力随时间下降；承诺的现金流存在违约风险，不确定性降低未来现金流的价值。

单利与复利

单利（simple interest）只对本金计息，利息不再产生利息。复利（compound interest）每期利息并入本金继续计息。

1 美元以 9% 存两年：单利终值 = 1 + 1 × 9% × 2 = 1.18 美元；复利终值 = 1 × (1.09)² = 1.1881 美元。两者之差 0.0081 美元是利息的利息（interest on interest）。

APR、EAR 与连续复利

一年计息 m 次时，每期利率为 r/m，终值 \(FV = C_0 \times (1 + r/m)^{mT}\)。

年百分率（annual percentage rate, APR）是每期利率乘以一年计息次数，不考虑复利效应的名义利率。实际年利率（effective annual rate, EAR）反映复利后的真实收益率：

\[EAR = \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m - 1\]

一年按 12% 半年计息，等价于按 12.36% 一年计息；18% APR 按月计息，等价年利率 19.56%。

连续复利（continuous compounding）计息频率趋于无穷，终值 \(FV = C_0 \times e^{rT}\)。名义利率相同时，计息越频繁 EAR 越高。

多期现金流与四种简化形式

多期现金流估值把每一期现金流分别折现再求和。第 1-4 年末现金流依次为 200、400、600、800 美元，利率 12%，现值 = 178.57 + 318.88 + 427.07 + 508.41 = 1,432.93 美元。

四种简化现金流形式：

永续年金（perpetuity）每期等额 C、永续支付，现值 \(PV = C / r\)。

增长型永续年金（growing perpetuity）现金流每期按固定增长率 g 增长且永续，现值 \(PV = C / (r - g)\)。

年金（annuity）固定期数 T 内每期等额支付，现值 \(PV = (C / r) \times [1 - 1 / (1 + r)^T]\)。

增长型年金（growing annuity）固定期数内每期按 g 增长，现值 \(PV = [C / (r - g)] \times [1 - ((1 + g) / (1 + r))^T]\)。

四个公式的折现点都落在首笔现金流的前一期；首笔现金流若延后，先算到首付前一期的现值，再折现回今天。

贷款分期偿还

纯折现贷款（pure discount loan）今天借入、到期一次性还本付息，期间无任何支付，典型代表是国库券。

只付息贷款（interest-only loan）每期只付利息、到期偿还全部本金，现金流形态与公司债相似。

分期偿还贷款（amortized loan）期内既还本金又付利息，分两种：等额本金还款每期还固定本金加当期利息，总支付逐年递减；等额本息还款每期支付固定金额，本息构成逐期变化。

等额本息配套的两个现值工具：

\[PV = PMT \times \frac{1 - 1/(1+r)^t}{r}, \quad FV = PMT \times \frac{(1+r)^t - 1}{r}\]

买房综合案例：月收入 3,000 美元，银行允许月供不超过月收入 28%，最大月供 840 美元；30 年期、年利率 6% 按月计息，共 360 期，贷款额 \(PV = 840 \times [1 - 1/(1.005)^{360}] / 0.005 = 140{,}105\)；结清费用为贷款额的 4%（5,604 美元），首付 14,396 美元，可承受房价 154,501 美元。

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