股票估值

股利贴现模型

持股收益来自两个部分：现金收入——公司定期发放的红利（dividends）；资本利得——卖出价格与买入价格之差。

股票价值等于未来现金流的现值。一年期持有：\(P_0 = (D_1 + P_1) / (1 + R)\)。把持有期不断向后推演，卖出价 P_t 始终取决于接盘者眼中的未来红利，股票价值最终等于未来所有红利的现值：

\[\hat{P}_0 = \sum_{t=1}^{\infty}\frac{D_t}{(1+R)^t}\]

此即股利贴现模型（dividend discount model, DDM）。理论上无论持有期限长短，现值恒等于红利的贴现总和。

模型难以实用的原因：买债券时现金流已由契约确定，而公司从不在 IPO 时承诺未来各期红利，未来红利取决于分红能力与分红意愿，无法准确预测。

三种特殊情形

零增长（zero growth）：红利永远不变，等价于永续年金，类似优先股：

\[P_0 = \frac{D}{R}\]

D = 1 元/股、R = 10%，则 P₀ = 10 元。

固定增长（constant growth）：红利按固定比例 g 每年增长，等价于增长型永续年金：

\[P_0 = \frac{D_1}{R-g} = \frac{D_0(1+g)}{R-g}\]

任意时点 t 的价格为 \(P_t = D_{t+1} / (R-g)\)。使用前提 g < R；g 趋近 R 时价格趋于无穷大，g > R 时公式无意义。

差异化增长（differential growth）：前 N 年红利以 g₁ 增长，N 年后长期保持 g₂：

\[P_0 = \frac{D_1}{R-g_1}\left[1-\left(\frac{1+g_1}{1+R}\right)^N\right] + \frac{P_N}{(1+R)^N}, \quad P_N = \frac{D_{N+1}}{R-g_2}\]

考试与练习中建议逐期列出各年红利、手算现值，不直接套公式。

两段增长例：刚派 D₀ = 2 美元，前 3 年按 8% 增长，之后永远按 4% 增长，折现率 12%。D₁ = 2.16 美元、D₂ = 2.33 美元、D₃ = 2.52 美元、D₄ = 2.62 美元；第三年末价格 P₃ = 2.62 ÷ (0.12 − 0.04) = 32.75 美元；P₀ = 2.16÷1.12 + 2.33÷1.12² + (2.52+32.75)÷1.12³ ≈ 28.89 美元。

股票价格与 g 正相关且高度敏感，与 R 负相关。

增长率与折现率的估计

增长率 g 的估计方法一：g = 留存比例 × ROE。留存比例（retention ratio）= 1 − 股利支付率。推导依赖三个假设：股利支付率不变；ROE 不变；无外部股权融资，权益增长仅来自内部留存收益。条件苛刻，实际不太有用。

增长率 g 的估计方法二：历史平均值。取过去若干年实际每股红利，计算逐年增长率后取平均；各年增长率与平均值差异大时，平均值失去参考意义。

折现率 R 是投资人要求的回报率，与风险相关，其量化模型（CAPM）是股票估值的输入。

NPVGO 与市盈率

NPVGO（net present value of growth opportunity, 增长机会净现值）把公司视为现金牛与增长机会之和：

\[P_0 = \frac{EPS}{R} + NPVGO\]

EPS/R 是公司把所有利润全部分红、永不增长时的价值；市场价高于该值的差额，是全部未来新项目 NPV 的贴现值之和。成长性越强，NPVGO 越大，股价越高。

市盈率（price-earnings ratio, P/E）由上式两边除以 EPS 得：

\[P/E = \frac{1}{R} + \frac{NPVGO}{EPS}\]

市盈率与成长机会正相关、与风险 R 负相关。

Stambaugh 例：EPS = 9.40 美元，要求回报率 12%，不做项目每股价值 = 9.40 ÷ 0.12 = 78.33 美元。做项目：第 1 年末投入 1.95 美元/股，第 2、3 年分别增收 2.75、3.05 美元；NPVGO = −1.95÷1.12 + 2.75÷1.12² + 3.05÷1.12³ ≈ 2.62 美元，股价 = 78.33 + 2.62 ≈ 80.95 美元。

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