虚拟变量与非线性回归

虚拟变量与非线性回归

交叉项与偏效应

含交叉项的模型 \(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_1X_2+u\) 中，\(X_1\) 对 Y 的偏效应

取决于 \(X_2\) 的取值，同理 \(\dfrac{\partial Y}{\partial X_2}=\beta_2+\beta_3X_1\)。\(X_2\) 在模型中有无交叉项，直接决定了 \(\beta_1\) 能否被独立解释。解释 \(X_1\) 的边际影响时不能只看 \(\beta_1\)：只看 \(\beta_1\) 等于假定 \(X_2=0\)，当 \(X_2\) 实际不为零时解释失真。

出席率与期末成绩案例：期末成绩 \(=2.05-0.0067\,\text{出席率}-1.63\,\text{上学期GPA}-0.128\,\text{入学成绩}+0.296\,\text{GPA}^2+0.0045\,\text{入学成绩}^2+0.0056\,(\text{GPA}\times\text{出席率})\)。出席率的偏效应 \(\dfrac{\partial\,\text{期末成绩}}{\partial\,\text{出席率}}=-0.0067+0.0056\,\text{GPA}\)，-0.0067 只是 GPA=0 时的效应；上学期 GPA 越高，增加 1 个单位出席率对期末成绩的贡献越大。

可线性化的非线性回归

倒数模型：\(1/Q=a+b(1/P)+u\)，令 \(y=1/Q\)、\(x=1/P\) 化为线性，常用来刻画需求-价格这类双曲关系。

多项式模型：拉弗曲线 \(s=a+br+cr^2\)（\(c<0\)），税率 r 与税收 s 呈开口向下的抛物线，令 \(x=r\)、\(z=r^2\) 直接线性回归。

幂函数模型：柯布-道格拉斯生产函数 \(Q=AK^\alpha L^\beta e^\epsilon\)，两边取对数得 \(\ln Q=\ln A+\alpha\ln K+\beta\ln L+u\)，变成多元线性模型，α、β 即产出弹性，可据此检验规模报酬（\(\alpha+\beta=1\)）。

CES 生产函数 \(Q=A(\delta_1K^{-\rho}+\delta_2L^{-\rho})^{-1/\rho}e^\epsilon\)（\(\delta_1+\delta_2=1\)）在 \(\rho=0\) 处作泰勒展开可近似为线性形式。非线性函数常经取对数、变量替换或级数展开线性化，再做 OLS。

柯布-道格拉斯生产函数估计与规模报酬检验

2010 年中国制造业 39 个行业的总产出与要素投入数据：模型 \(\ln Y=\beta_0+\beta_1\ln K+\beta_2\ln L+u\)。软件操作：EViews 用命令 LS LOG(Y) C LOG(K) LOG(L)，Stata 先 import excel 导入数据、gen lnY=log(Y) 取对数，再 reg lnY lnK lnL。回归结果

资本产出弹性 0.68，资本增加 1% 产出约增加 0.68%；劳动产出弹性 0.29，劳动增加 1% 产出增加 0.29%；两个斜率系数均在 1% 水平显著，\(R^2=0.9408\)。

0.68+0.29=0.97，需检验 \(\beta_1+\beta_2=1\) 即规模报酬不变。施加约束后模型人均化为 \(\ln(Y/L)=\beta_0+\beta_1\ln(K/L)+u\)，受约束模型 \(\mathrm{SSR}_R=4.4694\)，无约束模型 \(\mathrm{SSR}_{UR}=4.4006\)，F 检验

\(F_{0.05}(1,36)=4.11\)，\(0.67<4.11\)，不能拒绝原假设，不能拒绝生产函数具有规模报酬不变性质。

虚拟变量的概念与设置规则

虚拟变量（dummy variable）：把定性信息（性别、婚否、地区）通过二值变量刻入模型，如 \(D=\{1,\text{本科及以上};0,\text{高中及以下}\}\)。

基准组与 g-1 规则：含截距的回归中，有 g 个分组只需 g-1 个虚拟变量；虚拟变量的系数度量该组与基准组均值的差距；基准组不设虚拟变量，选择可任意、可更换，更换基准组只改变其他虚拟变量的系数含义，模型拟合不变。

三种引入方式

加法方式度量截距变化：\(wage=\beta_0+\beta_1educ+\delta_0female+u\)，\(E(w|female=1)-E(w|female=0)=\delta_0\)，即同等教育水平下女性与男性平均工资之差。加法方式下两组回归线斜率相同、截距相差 \(\delta_0\)，平均工资差距与教育水平无关。WAGE1 数据 526 个观测的估计 \(\hat{wage}=0.62-2.27female+0.51educ\)，教育及其他条件不变时女性比男性平均小时工资低 2.27 美元。

乘法方式度量斜率变化：\(wage=\beta_0+\beta_1educ+\delta_1female\cdot educ+u\)，差距 \(=\delta_1\cdot educ\)，女性与男性工资差距随教育水平变化而变化。WAGE1 数据的乘法形式估计 \(\hat{wage}=-0.29-0.18female\cdot educ+0.58educ\)，\(\partial wage/\partial female=-0.18educ\)，性别差距随教育水平变化（\(t=-8.14\)）。

混合方式截距、斜率都变：\(wage=\beta_0+\beta_1educ+\delta_0female+\delta_1female\cdot educ+u\)，差距 \(=\delta_0+\delta_1educ\)，\(\delta_0\) 只是 educ=0 时的差距，并不等于一般意义上的工资差距。WAGE1 数据的混合形式中 female（-1.20，\(t=-0.90\)）与 female·educ（-0.09，\(t=-0.83\)）均不显著，说明单看截距和斜率没有显著差异。

虚拟变量陷阱

虚拟变量陷阱（dummy variable trap）：同时定义 female、male 两个虚拟变量，因 \(female+male=1\) 与常数列完全共线，违反基本假设、无法分离估计。处理办法是去掉一个虚拟变量，或去掉常数项做无截距回归（此时参数解释发生变化）。陷阱演示：gen male=1-female 后回归，Stata 自动删除一个变量并标注 omitted，EViews 报近奇异矩阵错误；无截距回归 reg wage female male educ, noconstant 仍给出估计，但女性系数变为 -1.65（\(t=-2.53\)）等，参数解释与含截距模型不同。完全共线的另一种来源是模型设定错误：工资对 education 与 education2（等于 \(2\times education\)）回归时两变量完全线性相关，Stata 同样自动去掉一个。

多分组与基准组更换

多分组情形设置 g-1 个虚拟变量。婚否乘性别四组（已婚男、单身男、已婚女、单身女）以单身男性为基准组，定义 marrmale、marrfem、singfem 三个虚拟变量，模型 \(wage=\beta_0+\beta_1marrmale+\beta_2marrfem+\beta_3singfem+\beta_4educ+\beta_5exper+\beta_6exper^2+\beta_7tenure+\beta_8tenure^2+u\)，参数分别衡量已婚男、已婚女、单身女与单身男性的平均工资差距；已婚男性与已婚女性之差等于 \(\beta_1-\beta_2\)。检验该差是否显著的方法：把基准组换成已婚女性，重新定义虚拟变量后再回归，新模型中已婚男性虚拟变量的系数直接就是该差距，用 t 检验即可。

模型选择：Translog 与 C-D

超越对数生产函数（Translog）：\(\ln Y=\beta_0+\beta_1\ln L+\beta_2\ln K+\beta_3(\ln^2 L)/2+\beta_4(\ln^2 K)/2+\beta_5\ln L\ln K+u\)，是含平方项与交叉对数项的灵活函数形式。C-D 是其受约束形式，检验 \(H_0:\beta_3=\beta_4=\beta_5=0\)。32 个观测的估计：受约束（C-D）\(\mathrm{SSR}_R=1.32609\)，无约束（Translog）\(\mathrm{SSR}_{UR}=1.25888\)，\(F=\dfrac{(1.33-1.25)/3}{1.25/26}=0.555<F_{0.05}(3,26)=2.31\)，不拒绝原假设，选取 C-D 生产函数模型。

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