模型设定偏误

设定偏误的类型

线性回归模型的经典假设之一就是模型设定正确。模型设定错误时，即使其他经典假设都满足，估计结果也可能有偏，这种偏误称模型设定偏误。设定偏误对应经典假设第 1 条：既无遗漏重要变量也无多余无关变量、函数形式正确。设定偏误分两大类：解释变量选取的偏误，包括遗漏相关变量与多选无关变量；函数形式选取的偏误，即错误的函数形式。

遗漏相关变量的后果

真实模型为 \(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+u\)，却估计了 \(Y=\alpha_0+\alpha_1X_1+v\)。沿用离差形式，把真实模型代入 OLS 估计量可得

\[E(\hat\alpha_1)=\beta_1+\beta_2\frac{\sum x_{1i}x_{2i}}{\sum x_{1i}^2}\]

\(X_1\) 与 \(X_2\) 相关时第二项不等于 0，\(\hat\alpha_1\) 小样本下有偏、大样本下不一致，偏误方向等于 \(\beta_2\) 的符号乘 \(X_1\)、\(X_2\) 相关系数的符号。\(X_1\) 与 \(X_2\) 不相关时 \(\hat\alpha_1\) 仍无偏、一致，但截距 \(\hat\alpha_0\) 有偏且不一致，随机扰动项方差 \(\hat\sigma^2\) 的估计与 \(\hat\alpha_1\) 方差的估计也有偏。

方差对比：遗漏模型 \(\operatorname{Var}(\hat\alpha_1)=\sigma^2/\sum x_{1i}^2\)，正确模型 \(\operatorname{Var}(\hat\beta_1)=\sigma^2/[\sum x_{1i}^2(1-\gamma_{x_1x_2}^2)]\)，\(\gamma_{x_1x_2}\) 是 \(X_1\) 与 \(X_2\) 的相关系数。只要 \(X_1\)、\(X_2\) 相关，正确模型的方差就更大；遗漏变量的模型把 \(X_2\) 的影响混入扰动项，"看起来更精确"是虚假的精确。

多选无关变量的后果

真实模型为 \(Y=\alpha_0+\alpha_1X_1+v\)，却估计了 \(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\varepsilon\)，其中真实 \(\beta_2=0\)。估计模型仍满足全部经典假设，\(\hat\beta_1\)、\(\hat\beta_0\) 仍无偏、一致，\(E(\hat\beta_2)=0\)。

代价在方差：\(X_2\) 与 \(X_1\) 完全无关时 \(\operatorname{Var}(\hat\beta_1)=\operatorname{Var}(\hat\alpha_1)\)，无损失；相关时 \(\operatorname{Var}(\hat\beta_1)=\sigma^2/[\sum x_{1i}^2(1-\gamma^2)]>\operatorname{Var}(\hat\alpha_1)\)，标准误变大、置信区间变宽、估计精度下降。多选无关变量不破坏无偏性，但可能损失效率，应通过 t 检验或 F 检验把无关变量剔除。例：真实模型只含 \(X_1\) 而误加 \(X_2\)，\(X_2\) 的系数估计 \(E(\hat\beta_2)=0\)，检验中该系数一般不显著。

错误函数形式的后果

真实模型是非线性的，如双对数模型 \(Y=AX_1^{\beta_1}X_2^{\beta_2}e^u\)，却设定了线性模型 \(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+u\)。后果是"全方位的"：参数的经济含义完全改变，双对数模型里的 \(\beta_1\) 是弹性，线性模型里的 \(\beta_1\) 是 \(X_1\) 变动一单位对 Y 的影响；两者一般给出不同的估计结果，且样本量再大也无法修正。

无关变量的检验

单个变量用 t 检验，\(t=\hat\beta_k/se(\hat\beta_k)\)；一组变量（如 \(X_3\)、\(X_4\) 是否应包含）用 F 检验，受约束模型为去掉该组变量的回归。t 检验判断单个系数是否显著异于 0，F 检验判断一组变量是否应同时进入模型，两者都是设定偏误排查的组成部分。

残差分析

残差分析诊断是否遗漏重要解释变量或函数形式有误：OLS 之后把残差与某解释变量 X 作散点图，考察残差是否呈规律性变动。残差随 X 持续上升，可能遗漏了与 X 正相关的重要变量；持续下降，可能遗漏了与 X 负相关的变量；真实关系是凹的（如幂函数）却被用直线拟合时，残差呈"先正、后负、再正"的规律变化，说明函数形式错误。软件实现：回归后用 predict 保存残差，再与解释变量作散点图观察规律性。

Ramsey RESET 检验

Ramsey RESET 检验（回归设定误差检验）：步骤为估计原模型，得拟合值 \(\hat Y\) 与 \(R^2_{old}\)；在原模型中引入拟合值的若干次幂（\(\hat Y^2\)、\(\hat Y^3\)，必要时更高次）作为新增回归元，重新 OLS，得 \(R^2_{new}\)；检验 \(H_0:\gamma_2=\gamma_3=0\)（新增项系数全为 0，即无设定偏误），统计量

\[F=\frac{(R^2_{new}-R^2_{old})/m}{(1-R^2_{new})/(n-\text{新模型参数个数})}\]

通常新增 2 项时 \(F=\dfrac{(R^2_{new}-R^2_{old})/2}{(1-R^2_{new})/(n-4)}\)。F 显著（p 值小）则认为原模型有设定偏误。软件操作：EViews 在估计方程窗口选 View → Stability Diagnostics → Ramsey RESET Test，Stata 用 estat ovtest。RESET 提示"模型可能不对"，不指出具体错在哪里、如何修正。

应用案例：香烟消费模型选择

美国 48 个州 1995 年香烟人均消费数据，变量为人均消费量 Q、居民收入 Y、销售价格 P、州平均消费税 tax、州特产税 taxs，用 RESET 检验在对数模型与水平模型之间选择。对数模型 \(\ln Q=f(\ln Y,\ln P)\) 的 RESET 检验，EViews 加入平方项与三次项（2 项）得 \(F=1.918\)、p=0.159，Stata 的 estat ovtest 默认加 3 项得 \(F=1.26\)、p=0.3011，两种设定下 10% 水平都不能拒绝原假设，不存在明显的设定偏误。水平模型 \(Q=\beta_0+\beta_1Y+\beta_2P+u\) 的 RESET 检验 \(F=4.210\)、p=0.0209（LR 统计量 p=0.0127），5% 水平拒绝原假设，存在设定偏误。结论：应选择对数（双对数）模型。设定检验可以在候选函数形式之间做选择。

三类设定偏误的检验路径：无关变量用 t 检验（单个变量）或 F 检验（一组变量）剔除；遗漏变量与函数形式错误用残差分析与 RESET 检验诊断；函数形式的选择用 RESET 在候选形式之间裁定。遗漏相关变量与错误函数形式都会使残差呈现规律性，残差分析是两类偏误的共同诊断工具。

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