时间序列平稳性

截面数据与时间序列数据

截面数据是同一时点、不同个体的观测，下标用 i，此前各章的回归分析以截面数据为主。时间序列数据是同一主体、不同时点的观测，下标用 t，具有年度、季度、月度、周度、日度等频率，频率越高信息越细、噪声通常也越大。

时间序列的相邻观测彼此相关，随机抽样假定不再成立；用平稳性替代随机抽样假定，并把严格外生性放宽为同期外生性后，大数定律与中心极限定理仍然适用，OLS 的大样本推断（一致性、渐近正态）才有效，同时减少虚假回归。

平稳三条件与弱相关

平稳序列（stationary process）的三条件，对任意 t 与 k 成立：均值恒定，\(E(Y_t)=\mu\) 与 t 无关；方差恒定，\(\operatorname{Var}(Y_t)=\sigma^2\) 与 t 无关；自协方差只依赖间隔，\(\operatorname{Cov}(Y_t,Y_{t+k})=\gamma_k\) 只与滞后阶数 k 有关、与 t 无关。满足这三条的是弱平稳，也称协方差平稳。

弱相关（weakly dependent）：\(Y_t\) 与 \(Y_{t+k}\) 的相关性随 k 增大而趋于 0。平稳序列是弱相关的典型情形；弱相关意味着"过去的影响逐渐消失"，是时间序列上大数定律与中心极限定理成立的关键性质。

白噪声

白噪声（white noise）：均值为 0、方差为常数 \(\sigma^2\)、任意两个不同时刻不相关（\(\operatorname{Cov}(e_t,e_s)=0\)，\(t\neq s\)）的序列。白噪声的要求比一般平稳序列更严格，进一步要求各期独立同分布则要求更高。高斯白噪声在白噪声基础上再要求服从正态分布，其图形完全随机、无任何规律。

白噪声是最基本、最典型的平稳序列，也是后续检验的"基准"：随机游走的一阶差分应是白噪声；ADF 回归中不断增加 \(\Delta Y\) 的滞后项，就是为了让残差成为白噪声。

随机游走与 AR(1)

无漂移随机游走：\(Y_t=Y_{t-1}+e_t\)，e_t 为白噪声，递推得 \(Y_t=Y_0+e_1+\cdots+e_t\)。\(E(Y_t)=Y_0\) 为常数，但 \(\operatorname{Var}(Y_t)=t\sigma^2\) 随时间线性增大，方差非常数，序列不平稳；一阶差分 \(\Delta Y_t=e_t\) 是白噪声，平稳。

有漂移随机游走：\(Y_t=\delta+Y_{t-1}+e_t\)，\(E(Y_t)=t\delta+Y_0\) 随时间线性变化，\(\operatorname{Var}(Y_t)=t\sigma^2\) 同步增大，均值和方差都随时间变，图形呈长期漂移，漂移项 δ 决定方向。

AR(1)：\(Y_t=\varphi Y_{t-1}+e_t\)。\(|\varphi|<1\) 时平稳，\(E(Y_t)=0\)、\(\operatorname{Var}(Y_t)=\sigma^2/(1-\varphi^2)\)、\(\operatorname{Cov}(Y_t,Y_{t-k})=\sigma^2\varphi^k/(1-\varphi^2)\) 随 k 几何衰减；\(\varphi=1\) 时为单位根，退化为随机游走，不平稳；\(|\varphi|>1\) 时发散，方差爆炸。是否有单位根是平稳与不平稳的分界，单位根检验因此成为核心。

伪回归

伪回归（spurious regression）：两个相互无关的非平稳序列（如两个独立随机游走）直接做 OLS，常得到"高度显著"的系数与高 R²。机理：非平稳使回归误差非白噪声，t 检验与 R² 的分布失效。识别方法：两个序列各取一阶差分后再回归，若显著性消失，原回归即为伪回归。

Stata 模拟演示：两个独立生成的随机游走序列做水平回归，斜率 -0.2696、\(t=-17.93\)、\(R^2\approx0.39\)，"高度显著"；一阶差分回归斜率 0.0564、\(t=1.33\)、p=0.186、\(R^2\approx0.004\)，完全不显著。两序列本无任何关系，水平回归的显著结果是伪回归，一阶差分后真相显现。

图形与 ACF 判断

图形判断：画 \(Y_t\) 的折线图，看均值、方差是否随 t 变化。白噪声围绕 0 无规则波动，平稳；随机游走（含漂移）长期漂移，非平稳；一阶差分后围绕 0 波动，平稳。

自相关函数（ACF）：\(\rho_k=\gamma_k/\gamma_0=\operatorname{Cov}(Y_t,Y_{t-k})/\operatorname{Var}(Y_t)\)，样本 ACF 用样本自协方差除以样本方差。结合综合检验（portmanteau）Q 统计量检验前 M 阶 \(\rho\) 是否全为 0：原假设 \(H_0:\rho_1=\cdots=\rho_M=0\)（近似白噪声），Box-Pierce 统计量 \(Q=T\sum_{k=1}^{M}\hat\rho_k^2\sim\chi^2(M)\)，Ljung-Box 统计量对小样本作了修正。

平稳序列的 ACF 快速衰减；随机游走的 ACF 缓慢衰减、几乎不下降，滞后的影响永不完全消失，是典型非平稳信号。对照数据：随机游走序列 Q 统计量 479.07 巨大，白噪声序列 Q 统计量 0.4529 很小。图形与 ACF 是辅助手段，正式判定用单位根检验。

DF 与 ADF 单位根检验

DF 检验（Dickey-Fuller test）：从 \(Y_t=\rho Y_{t-1}+e_t\) 两边同减 \(Y_{t-1}\)：

\[\Delta Y_t=(\rho-1)Y_{t-1}+e_t=\delta Y_{t-1}+e_t\]

检验方程常用含截距形式 \(\Delta Y_t=\alpha+\delta Y_{t-1}+e_t\)。原假设 \(H_0:\delta=0\)（即 \(\rho=1\)，有单位根，非平稳），备择 \(H_1:\delta<0\)（平稳），单侧检验，统计量 \(\tau=\hat\delta/se(\hat\delta)\)，τ 足够负（小于临界值）才拒绝。

关键点：\(H_0\) 为真时 τ 不服从 t 分布，而服从 Dickey-Fuller 分布，临界值比 t 分布更负。含截距模型大样本临界值：5% 约 -2.86，而 t 分布只有 -1.65，查错分布表会严重高估显著性。

ADF 检验（augmented Dickey-Fuller test）：DF 只适用于扰动项为白噪声的 AR(1)，真实过程是 AR(p)（p>1）或含时间趋势时扰动项非白噪声，DF 失效，在方程中加入 \(\Delta Y\) 的滞后项吸收自相关。三种模型：

模型 3（含截距与时间趋势）\(\Delta Y_t=\alpha+\beta t+\delta Y_{t-1}+\sum_{i=1}^{p}\lambda_i\Delta Y_{t-i}+e_t\)；

模型 2（含截距）\(\Delta Y_t=\alpha+\delta Y_{t-1}+\sum_{i=1}^{p}\lambda_i\Delta Y_{t-i}+e_t\)；

模型 1（无截距无趋势）\(\Delta Y_t=\delta Y_{t-1}+\sum_{i=1}^{p}\lambda_i\Delta Y_{t-i}+e_t\)。

滞后阶数 p 加到残差通过 LM 检验（近似白噪声）为止，软件可按 Schwarz 信息准则自动选择。检验步骤从模型 3 开始：先看时间趋势项系数是否显著（经验临界值约 2.85），不显著则换模型 2；再看截距项（约 2.61），不显著则换模型 1；三个模型都不拒绝 \(H_0\) 则序列有单位根、非平稳，任一模型拒绝则平稳、停止。DF 是 ADF 的特殊情形（滞后 0 阶）。

差分平稳与趋势平稳

差分平稳过程：无漂移随机游走 \(Y_t=Y_{t-1}+e_t\) 非平稳，一次差分 \(\Delta Y_t=e_t\) 平稳，靠差分消除非平稳。

趋势平稳过程：序列 \(Y_t=\beta_1+\beta_2t+e_t\) 的均值随时间变化、方差仍为常数，从序列中减去其均值（去趋势）后所得序列平稳。处理方式与差分平稳不同：一个差分、一个去趋势，不可混用。

单整

单整（integration）：一个序列差分 d 次后变为平稳，称原序列为 d 阶单整，记 \(I(d)\)；\(I(0)\) 即平稳序列。随机游走一次差分平稳，为 \(I(1)\)。

现实规律：只有少数经济指标的时间序列本身平稳（如利率）；大多数指标（如 GDP、消费）非平稳，但经一次或两次差分后可能平稳；也有无论差分多少次都不能平稳的序列，称非单整。

美英月度汇率对数序列案例：水平序列三个模型 \(\tau=-2.3467/-2.0682/-1.4760\) 均不拒绝原假设，存在单位根、非平稳；一阶差分模型 3 \(\tau=-10.9958\)（p=0.0000）拒绝，无单位根、平稳，故 \(\ln exchange\sim I(1)\)。

中国居民实际消费总额序列案例（1978-2018）：水平 Y 三个模型 \(\tau=1.698/2.539/2.673\) 均不拒绝，非平稳；一阶差分 ΔY 三个模型 \(\tau=2.068/0.150/1.394\) 仍均不拒绝，ΔY 非平稳；二阶差分模型 3 \(\tau=-5.859\)（p=0.0000）拒绝，Δ²Y 平稳，故 Y 为 \(I(2)\)，即 2 阶单整。

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