资产组合理论

收益与风险的度量

持有期收益率（holding-period return）是持有期内全部收益与期初投入之比，均值可用算术平均或几何平均衡量，几何平均更贴近复利实际增长。

风险用收益率的方差或标准差度量。预期收益与方差须假设概率分布：

\[E(r)=\sum_i p_i r_i\]

\[\sigma^2=\sum_i p_i\left(r_i-E(r)\right)^2\]

选择规则上，收益相同时选方差小的，方差相同时选收益高的。两者都不同时用变异系数 \(\sigma/E(r)\) 或夏普比率（Sharpe ratio）\((E(r)-r_f)/\sigma\) 比较。

组合与分散化

组合收益与组合方差：

\[R_p=\sum_i w_i R_i\]

\[\sigma_p^2=\sum_i\sum_j w_i w_j \sigma_{ij}\]

协方差 \(\sigma_{ij}=\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j\)。分散化降低风险的关键在于资产间相关系数小于 1。

风险分为系统性风险与非系统性风险。分散化消除非系统性风险，不能消除系统性风险。分散化降低个别风险也包括降低收益，成效一定有限：系统性风险以相似方式影响市场上所有证券，组合投资不能规避；分散未必只在股票之间进行，还可能分散到债券、房地产等；未必每位投资者都采用分散策略。

市场模型与 β 系数

市场模型（market model）：

\[r_i=\alpha_i+\beta_i r_M+\varepsilon_i\]

α 是市场收益率为零时个股的预期收益即超额收益，β 度量个股对市场变动的敏感度。

β 系数（beta coefficient）：

\[\beta_i=\frac{\mathrm{Cov}(i,M)}{\mathrm{Var}(M)}=\frac{\rho_{iM}\sigma_i\sigma_M}{\sigma_M^2}\]

β 大于 1 为敏感型行业，波动大于大盘；β 小于 1 为迟缓型行业，波动小于大盘。β 不是强势股与弱势股的划分。

β 的测算方法包括历史 β、预期 β、均值回归、移动平均与基本面调整。操作应用上，判断大盘方向后选 β 大的证券做多或做空；不做大盘判断而做基本面时关注 α。

效用函数与无差异曲线

效用函数（utility function）刻画投资者对各方案收益水平与风险程度的主观偏好：

\[U = E(R) - 0.005A\sigma^2\]

A 为风险厌恶指数，0.005 为经验设定值。U 与预期收益正相关，与方差负相关。A 越大越厌恶风险，同一风险资产算出的效用越低。

财富—效用函数有三种形状。凹性函数边际效用递增对应风险喜好，凸性函数边际效用递减对应风险厌恶，线性函数边际效用不变对应风险中性。

无差异曲线（indifference curve）是投资者从一组证券群中得到满意程度相同组合的轨迹。风险厌恶型向右上方弯曲，风险追求型向右下弯曲，风险中立型为水平线。曲线族互不相交，位置越高效用越大，斜率反映风险厌恶程度。理性投资者同时满足不满足与风险厌恶两个条件。

Markowitz 组合理论

1952 年马科维茨提出《投资组合选择》。假设前提包括投资者追求预期效用最大化、市场完全有效、投资者理性、以均值—方差评价资产、资产无限可分。

两种证券组合（\(w_A + w_B = 1\)）的收益与风险：

\[E(r_p) = w_A E(r_A) + w_B E(r_B)\]

\[\sigma_p^2 = w_A^2\sigma_A^2 + w_B^2\sigma_B^2 + 2w_A w_B \rho_{AB}\sigma_A\sigma_B\]

三种极端情形下组合线形状不同。完全正相关时组合线是直线，无法把组合风险降到最小风险以下。完全负相关时组合线是折线，取 \(w_A = \dfrac{\sigma_B}{\sigma_A+\sigma_B}\) 时组合风险降为 0。完全不相关时组合线是曲线，最小方差权重 \(w_A = \dfrac{\sigma_B^2}{\sigma_A^2+\sigma_B^2}\)，充分降低投资风险。

一般情形下最小方差权重 \(w_A = \dfrac{\sigma_B^2 - \sigma_{AB}}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 - 2\sigma_{AB}}\)。不卖空时相关系数决定组合风险的大小，现实中证券之间一般为部分正相关。

可行域、有效边界与最优组合

可行域（feasible set）是全部可行组合在收益—风险平面上的集合。有效边界（efficient frontier）是可行域的上边界部分，比域内及下边界的任何可行组合都更有效率。最优组合是投资者无差异曲线与有效边界的切点。

构建完整投资组合分三步：确定各类投资工具的收益风险特征，建立并确定最优风险资产组合，建立包含风险资产组合和无风险资产的最优资产组合。

资本配置线、资本市场线与 CAPM

资本配置线（CAL，capital allocation line）是一项风险资产与无风险资产构成的组合线：

\[E(R_p) = R_f + \big(E(R_i)-R_f\big)\cdot\frac{\sigma_p}{\sigma_i}\]

截距 \(R_f\) 是时间价值，斜率是风险溢价即夏普系数。不同效用曲线的投资者形成不同的 CAL。

资本市场线（CML，capital market line）是市场组合 M 与无风险资产再组合形成的有效组合线：

\[E(r_C) = r_f + \frac{E(r_M)-r_f}{\sigma_M}\,\sigma_C\]

引入无风险资产后，除 M 点外原有效边界的其他组合点均成为无效组合。CML 斜率是风险的价格。CML 是均衡条件下对资产有效组合的定价。

资本资产定价模型（CAPM）给单个证券定价，风险用对市场组合风险的敏感度 β 衡量：

\[E(r_i) = r_f + \beta_i\big(E(r_M)-r_f\big)\]

CAPM 由夏普等人在马科维茨组合理论与资本市场理论基础上发展而来，研究资产风险与预期收益的关系，是现代金融市场价格理论的基石。

定价不等于估值。定价回答承担风险应得多少收益，估值回答证券本身值多少钱。实际收益高于模型要求的资产被低估，应买入；低于模型要求的被高估，应卖出。

因子模型与 α/β 策略

多因素模型把证券收益分解为期望部分、未预期到的宏观因素部分与未预期到的公司特有事件部分。单因素模型把宏观因素浓缩为一个共同因素。夏普单指数模型（single index model）：

\[r_i = \alpha_i + \beta_i r_M + e_i\]

α 是市场处于无风险收益水平时证券的收益，β 是随市场波动的部分，e 是公司特有残差。

α 策略追求超越市场的选股收益，属进取型。β 策略获取市场平均收益，属被动型，如指数化投资。主动型投资者用 β 做择时，被动型投资者获取市场平均收益。

发现错误？想一起完善？在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：AI-PM Wiki Team
本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用