数学方法专题

从贝尔曼方程到函数空间

贝尔曼方程 \(V(x)=\max_y\{u(x,y)+\beta V(y)\}\) 缩写为 \(TV=V\)，是泛函方程：方程右端把函数映成函数，解 \(V\) 本身是一个函数。动态优化问题的价值函数生活在无限维空间里，解方程之前必须先给 \(V\) 找一个"家"——一个既有代数结构又能度量距离的空间。

不动点视角：\(TV=V\) 即算子 \(T\) 的不动点，迭代 \(V_{n+1}=TV_n\) 即逐次逼近与时间迭代，若 \(V_n\) 与 \(V_{n-1}\) 的距离趋于 0，则得到方程的解。

向量空间

实向量空间是集合配加法与标量乘法两种运算，标量取自实数域。减法由两者导出：\(x-y=x+(-1)\cdot y\)。向量空间满足 8 条代数公理：加法交换律、结合律、零向量存在、负向量存在、标量乘法结合律、两种分配律、单位元 \(1\cdot x=x\)。欧几里得空间是向量空间的特例。

例子一：全体实数列构成向量空间，逐元素相加、逐元素乘标量，零向量是零序列。例子二：\(C[a,b]\) 表示闭区间上的全体连续函数，连续函数之和仍连续、标量倍仍连续，各公理逐点验证成立，零向量是零函数。向量空间概念从平面向量推广到抽象对象，这是给价值函数找家的第一步。

度量空间

度量空间是集合配度量 \(\rho:S\times S\to\mathbb{R}\)，\(\rho(x,y)\) 给出两点间的距离。度量三条公理：非负且 \(\rho(x,y)=0\) 当且仅当 \(x=y\)；对称性 \(\rho(x,y)=\rho(y,x)\)；三角不等式 \(\rho(x,y)\le\rho(x,z)+\rho(z,y)\)。

相等由距离定义：\(\rho(x,y)=0\) 定义两个元素相等，不同度量给出不同的相等概念。函数空间上的 sup 度量 \(\rho(f,g)=\max_t|f(t)-g(t)|\) 给出强相等，积分度量 \(\rho(f,g)=\int|f(t)-g(t)|dt\) 只表示平均意义下的相等。

赋范向量空间与空间谱系

赋范向量空间是向量空间与范数的结合，范数 \(\|x\|\) 刻画向量长度。范数三条公理：非负且 \(\|x\|=0\) 当且仅当 \(x=0\)；齐次性 \(\|\alpha x\|=|\alpha|\|x\|\)；三角不等式 \(\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|\)。\(C[a,b]\) 配 sup 范数 \(\|f\|=\sup_t|f(t)|\) 是赋范向量空间。

空间层级从外到内：拓扑空间、度量空间、赋范向量空间、巴拿赫空间（完备的赋范向量空间）、内积空间、希尔伯特空间（完备的内积空间）、欧几里得空间。所有赋范向量空间都是度量空间，令 \(\rho(x,y)=\|x-y\|\) 即可；反之不成立，度量空间只含几何结构。

完备性与巴拿赫空间

收敛：序列 \(\{x_n\}\) 收敛到 \(x\)，对任意 \(\varepsilon>0\) 存在 \(N\) 使 \(n\ge N\) 时 \(\rho(x_n,x)<\varepsilon\)。柯西序列：尾部元素彼此间的距离趋于 0。

收敛与柯西不等价。空间 \(X=(0,1]\) 中序列 \(x_n=1-1/n\) 是柯西序列，收敛到 1，但 \(1\notin X\)，序列在空间外收敛。完备性：空间中每个柯西序列都收敛到空间内的点。实数集完备。完备的赋范向量空间即巴拿赫空间。

定理：有界连续函数空间 \(C(X)\) 配 sup 范数是巴拿赫空间。状态空间 \(X\subset\mathbb{R}^l\)，\(C(X)\) 为定义在 \(X\) 上的全体有界连续函数，配 sup 范数 \(\|f\|=\sup_{x\in X}|f(x)|\)。

证明分三步。第一步逐点构造极限函数：任取柯西序列 \(\{f_n\}\subset C(X)\)，固定 \(x\)，\(\{f_n(x)\}\) 是实数柯西序列，由实数完备性存在 \(f(x)=\lim_nf_n(x)\)，对每个 \(x\) 定义 \(\hat{f}(x)=f(x)\)。第二步证明 \(\|f_n-\hat{f}\|\to0\)：三角不等式加一项减一项，\(|f_n(x)-\hat{f}(x)|\le|f_n(x)-f_m(x)|+|f_m(x)-\hat{f}(x)|\)，用 \(\varepsilon/2+\varepsilon/2\) 拆分；按 sup 范数收敛即一致收敛，强于点态收敛。第三步证明 \(\hat{f}\in C(X)\)：有界性由三角不等式拆分，连续性用 \(\varepsilon/3\) 论证借用某个 \(f_k\) 的连续性。未证明极限函数属于原空间之前不得对其使用该空间的范数，否则循环论证。

压缩映射定理

压缩映射：度量空间上的自映射 \(T:S\to S\)，若存在 \(\beta\in(0,1)\) 使 \(\rho(Tx,Ty)\le\beta\rho(x,y)\) 对任意 \(x,y\) 成立，则称 \(T\) 是模为 \(\beta\) 的压缩映射。不能写成 \(\|Tx-y\|\le\beta\|x-y\|\)：\(T\) 不一定是线性算子，一般不能把 \(T\) 拆进差号里面。

压缩映射定理（巴拿赫不动点定理）：设 \((S,\rho)\) 是完备度量空间，\(T\) 是模为 \(\beta\) 的压缩映射，则方程 \(Tv=v\) 存在唯一的解 \(v^*\)；对任意初值 \(v_0\)，迭代 \(v_{n+1}=Tv_n\) 以几何速度 \(\beta^n\rho(v_0,v^*)\) 收敛到 \(v^*\)。

证明分四步。构造：任取 \(v_0\) 令 \(v_{n+1}=Tv_n\)。柯西性：用三角不等式逐项拆分并求和，\(\rho(v_m,v_n)\le\sum_{i=n}^{m-1}\rho(v_{i+1},v_i)\le\frac{\beta^n}{1-\beta}\rho(v_1,v_0)\to0\)，由完备性 \(v_n\to v^*\in S\)。不动点：\(\rho(Tv^*,v^*)\le\rho(Tv^*,Tv_n)+\rho(v_{n+1},v^*)\to0\)。唯一性：若 \(u\neq v\) 都是不动点，则 \(\rho(u,v)=\rho(Tu,Tv)\le\beta\rho(u,v)<\rho(u,v)\)，矛盾。

经济学意义：解无限期动态模型即解贝尔曼方程 \(TV=V\)，从任意初值迭代必收敛到唯一真解，数值上极方便。

Blackwell 充分条件

直接按定义验证算子压缩需要找 \(\beta\)，往往不易。Blackwell 充分条件给出两条容易验证的条件，合起来充分保证压缩性。

单调性：若 \(f\le g\) 处处成立，则 \(Tf\le Tg\)。贴现：存在 \(\beta\in(0,1)\)，对任意常数 \(a\)，\(T(f+a)=Tf+\beta a\)。

单部门增长模型中的应用

单部门增长模型的贝尔曼算子：

\[TV(k)=\max_{0\le y\le f(k)}\{u(f(k)-y)+\beta V(y)\}\]

验证单调性：设 \(W\ge V\) 处处成立，取 \(V\) 问题的最优解 \(y^*\)，\(TV(k)=u(f(k)-y^*)+\beta V(y^*)\le u(f(k)-y^*)+\beta W(y^*)\le TW(k)\)。两问题的最优 \(y\) 可以不同，第二处只能写小于等于。验证贴现：\(T(V+a)(k)=\max_y\{u(f(k)-y)+\beta(V(y)+a)\}=TV(k)+\beta a\)，常数 \(a\) 被贴现后整体提出。

贝尔曼算子是压缩映射，\(C(X)\) 是巴拿赫空间，贝尔曼方程存在唯一解，从任意初值做值函数迭代都收敛到真解。

论证中有两个尚待解决的环节。其一，最优解的存在性与唯一性是隐含假设：若同一状态对应多个最优下一期资本，政策函数无法定义，需用最大值定理刻画。其二，有界性：除非把问题限制在紧集上，\(u(f(k)-y)\) 不一定属于 \(C(X)\)，无界回报的处理需加权 sup 范数等工具。

发现错误？想一起完善？在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：AI-PM Wiki Team
本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用