分支过程

历史背景

姓氏灭绝问题

分支过程源于英国姓氏灭绝问题。维多利亚时代英国人关注贵族姓氏逐渐减少乃至消失，1873 年高尔顿（Francis Galton）以精确数学形式提出家庭姓氏灭绝问题并征求解答，1874 年与沃森（Henry William Watson）合著论文《家庭灭绝的概率》，其中已包含临界现象，成为现代分支过程的基础。分支过程因此又称高尔顿-沃森过程。更严格的考据认为法国统计学家比耶奈梅更早独立提出同类模型，故也有学者称比耶奈梅-高尔顿-沃森过程。

高尔顿与沃森

高尔顿是英国统计学家，提出回归思想与相关系数，建立了高尔顿板演示正态分布。沃森是数学教授。本章的学习框架是一个模型（分支模型）、一个方法（生成函数）、一个现象（临界现象）。

数学模型

递推定义

分支过程 $\{Z_n\}$：一个祖先，$Z_0=1$。每个个体产生后代数 $\xi$ 为非负整数值随机变量，分布 $P(\xi=k)=p_k$，$k=0,1,2,\dots$，要求 $p_0<1$（若 $p_0=1$ 则永远无后代，模型退化）。第 $n+1$ 代由第 $n$ 代每个个体独立繁衍，后代数均与 $\xi$ 同分布： $$Z_{n+1}=\sum_{i=1}^{Z_n}\xi_{n,i}.$$

马尔可夫链性质

给定 $Z_n$ 时，$Z_{n+1}$ 只依赖当前这 $Z_n$ 个个体的繁殖结果，与过去历史无关，故 $\{Z_n\}$ 是非负整数值马尔可夫链，转移概率 $p_{ij}=P(\xi_1+\cdots+\xi_i=j)$。状态 0 是吸收状态：某代个体数为 0，则此后恒为 0，对应族的灭绝。

概率生成函数

定义与性质

概率生成函数： $$\varphi(s)=E[s^\xi]=\sum_{k=0}^\infty p_k s^k,\quad s\in[0,1].$$ 级数绝对收敛，对任意非负整数值随机变量存在。性质：$\varphi(0)=p_0$、$\varphi(1)=1$；单调不减的凸函数；在 $s=0$ 处逐阶求导提取分布 $p_k=\varphi^{(k)}(0)/k!$。泊松分布 $\xi\sim\mathcal{P}(\lambda)$ 的生成函数为 $e^{\lambda(s-1)}$。

代际复合

记 $\varphi_n(s)=E[s^{Z_n}]$，固定 $Z_n=k$ 时 $Z_{n+1}$ 是 $k$ 个 i.i.d. 变量之和，$E[s^{\sum\xi_i}]=\varphi(s)^k$，故 $$\varphi_{n+1}(s)=\varphi_n(\varphi(s)),$$ 第 $n$ 代生成函数是 $\varphi$ 的 $n$ 次复合。展开成幂级数即得 $P(Z_n=k)$；复合次数大时展开复杂度急剧上升，转而计算数字特征与灭绝概率。

组合技巧：简单随机游动从 0 出发首次返回 0 的时刻为 $2k$ 的概率 $P_{2k}$，把 $\{P_{2k}\}$ 作为系数构成生成函数，由递推关系写出生成函数满足的方程并解出，再展开取系数即得概率，这是离散组合概率中的常用方法。

均值与方差

均值

设 $E[\xi]=\mu$，由全期望公式 $E[Z_{n+1}]=E[Z_n]\cdot\mu$，递推得 $$E[Z_n]=\mu^n.$$ $\mu>1$ 时平均规模指数增长，$\mu<1$ 时指数衰减趋向灭绝，$\mu=1$ 时维持常数。与复合 Poisson 过程 $E[\sum_{i=1}^{N_t}\xi_i]=E[N_t]\mu$ 同为随机个随机变量之和，区别在求和个数是 Poisson 过程还是分支过程。

方差

设 $\mathrm{Var}(\xi)=\sigma^2$，由条件方差公式 $$\mathrm{Var}(Z_{n+1})=\sigma^2\mu^n+\mu^2\mathrm{Var}(Z_n),$$ 迭代得各代方差，等比求和可写成闭式。

算例：后代数 $\xi$ 取 0、1、2，概率分别为 $1/4$、$1/2$、$1/4$，生成函数 $\varphi(s)=\frac14+\frac12s+\frac14s^2$。直接按全概率公式算 $P(Z_2=0)=\frac14\cdot1+\frac12\cdot\frac14+\frac14\cdot(\frac14)^2=\frac{25}{64}$；生成函数法由复合 $\varphi_2(s)=\varphi(\varphi(s))$ 展开，常数项系数一致。$Z_2$ 可取 0 至 4 五个值，$Z_3$ 可取 0 至 8 九个值，逐代硬算不可行，生成函数复合是主要工具。

灭绝概率

不动点方程

最终灭绝概率 $$\alpha=\lim_{n\to\infty}P(Z_n=0)=\lim_{n\to\infty}\varphi_n(0).$$ 由 $\varphi_{n+1}(0)=\varphi(\varphi_n(0))$ 与 $\varphi$ 的连续性，两边取极限得 $$\alpha=\varphi(\alpha),$$ 即 $\alpha$ 是方程 $s=\varphi(s)$ 的根。$s=1$ 恒为方程的一根，方程还可能有一个或多个其他根。

灭绝概率定理

灭绝概率定理（前提 $0<p_0<1$）。$\mu<1$ 时 $\alpha=1$：由马尔可夫不等式 $P(Z_n\ne0)\le E[Z_n]=\mu^n\to0$，群体规模指数衰减，几乎必然灭绝。$\mu=1$ 时 $\alpha=1$：$\varphi'(1)=\mu=1$ 使 $\varphi$ 在 $s=1$ 的切线平行于对角线 $y=s$，凸函数位于切线之上，图像与 $y=s$ 仅交于 $s=1$ 一点，方程根唯一。$\mu>1$ 时 $\alpha$ 是方程 $s=\varphi(s)$ 的最小正根，且 $0<p_0<\alpha<1$；$1-\alpha>0$ 表示过程以正概率永不灭绝。$\mu=1$ 附近灭绝与否发生质变，即临界现象。

退化情形排除在前提之外：$p_0=0$ 时每个个体至少有一个后代，各代都不缺后代，永不灭绝，$\alpha=0$；$p_0=1$ 时初始个体即无后代，谈不上灭绝问题。

$\mu>1$ 时的迭代：从 $s_0=p_0$ 出发，把当前值作为横坐标代入 $\varphi$ 得到下一个值，序列单调逼近方程 $s=\varphi(s)$ 的较小不动点 $q$，一旦到达该不动点就不再变化。分析工具只是函数比较与斜率计算，随机性全部来自模型本身。

算例

后代数几何分布 $p_k=(1/2)^{k+1}$ 时 $\varphi(s)=1/(2-s)$，归纳得 $P(Z_n=0)=n/(n+1)\to1$，必然灭绝。后代数取 0 与 2、概率分别为 $1/4$ 与 $3/4$ 时 $\varphi(s)=\frac14+\frac34s^2$，迭代 $\varphi_{n+1}(0)=\varphi(\varphi_n(0))$ 得 $0.25\to0.2969\to0.3161\to\cdots\to\frac13$，最终灭绝概率 $\alpha=1/3$，以 $2/3$ 概率长期存活。两个简单模型的差异由 $\mu$ 决定。

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