布朗运动

历史背景

布朗运动得名于植物学家罗伯特·布朗。布朗于 1827 年观察到液体中悬浮花粉颗粒做无规则之字形运动，逐项排除液体流动、蒸发与生命活动后，判断运动源于颗粒自身被数量庞大的原子分子从各方向撞击。

爱因斯坦于 1905 年给出物理解释，推导出布朗运动密度函数满足扩散方程，并借助显微镜下可见的花粉颗粒轨迹反推水分子大小，从理论上证明原子的存在性。巴舍利耶于 1900 年完成博士论文《投机理论》，把股价涨跌刻画为随机游动，由中心极限定理趋于正态分布，把布朗运动用于股票与期权定价，奠定 Black-Scholes 公式的基础，被称现代金融数学之父。维纳于 20 世纪 20 年代给出布朗运动的严格定义与存在性的构造性证明，故布朗运动又称维纳过程。

定义与数字特征

标准布朗运动的定义

标准布朗运动：实值随机过程 $\{B_t,t\ge0\}$ 满足四条性质： $$B_0=0;\qquad \text{增量独立};\qquad \text{增量平稳};\qquad B_t-B_s\sim N(0,t-s).$$ 增量方差必须是 $t-s$ 的线性函数，这是标准情形的硬性要求。与 Poisson 过程对比：两者都满足增量独立与增量平稳，差别只在取值（实数对非负整数）与增量分布（正态对泊松）。

数字特征

均值函数 $E[B_t]=0$，方差函数 $E[B_t^2]=t$：时间越长波动越大，轨道围绕零点向外扩散。协方差函数： $$\mathrm{Cov}(B_s,B_t)=\min(s,t).$$ 推导把 $B_t$ 拆成 $B_s+(B_t-B_s)$，增量独立使交叉项期望为 0。

有限维分布与热方程

一维分布 $B_t\sim N(0,t)$，密度 $$p_t(x)=\frac1{\sqrt{2\pi t}}e^{-x^2/(2t)}$$ 满足热方程 $$\frac{\partial p}{\partial t}=\frac12\frac{\partial^2 p}{\partial x^2},$$ 边界条件为 $t\to0$ 时的狄拉克 δ 函数；该初值问题的解唯一，就是正态密度。爱因斯坦与巴舍利耶从扩散与期权两个角度推出同一方程。

一般 $n$ 维：$(B_{t_1},\dots,B_{t_n})$ 联合正态，协方差矩阵第 $(i,j)$ 元为 $\min(t_i,t_j)$。判别定理：实值过程是标准布朗运动当且仅当它是正态过程、均值恒为 0、协方差函数为 $\min(s,t)$。布朗运动是典型的高斯过程。

样本轨道

连续与不可导

样本轨道连续但无处可导。依概率连续由马尔可夫不等式得；差商 $|B_{t_0+\Delta t}-B_{t_0}|/|\Delta t|$ 的期望 $\sim\sqrt{2/\pi}|\Delta t|^{-1/2}\to\infty$，任何时刻没有切线。颗粒受四面八方分子撞击，每一撞击都改变方向，轨迹纠缠、无趋势、无切线。

无界变差

有界变差：对区间所有分割，增量绝对值之和的上确界有限。布朗运动几乎每条样本路径都是无界变差：把 $[0,1]$ 二进等分，$E[S_n]=\sum_k E|B_{k/2^n}-B_{(k-1)/2^n}|\propto\sqrt{2^n}\to\infty$，方差有界，$S_n$ 依概率趋于无穷；单调序列依概率趋于无穷推出几乎处处趋于无穷。

二次变差：增量平方和 $\sum(\Delta B_k)^2\to t$（$L^2$ 收敛）。增量绝对值之和发散、增量平方和收敛于区间长度，是无界变差与有限二次变差的对照。由此经典积分 $\int B_s\,dB_s$ 的极限依赖取点：取左端点得 $\frac12(B_t^2-t)$，取右端点得 $\frac12(B_t^2+t)$，相差 $t$，黎曼-斯蒂尔杰斯定义失效，引出伊藤积分。

模拟与泛函中心极限定理

简单对称随机游动每步 $\pm1$ 等概率，把折线按时间轴压缩 $1/N$、位移轴压缩 $1/\sqrt N$ 作尺度变换。泛函中心极限定理（Donsker）：规范化后的随机游动折线在函数空间上依分布收敛到标准布朗运动。量化交易每 5 秒一个价格数据点，连线成图，形态与布朗运动模拟曲线一致。

派生过程

保持标准性的三种变换：平移 $X_t=B_{t+t_0}-B_{t_0}$；尺度变换 $X_t=\frac1{\sqrt c}B_{ct}$，$c>0$；时间倒转 $X_t=tB_{1/t}$。均由判别定理验证。

反射布朗运动 $X_t=|B_t|$：取值非负，不是布朗运动。均值 $E|B_t|=\sqrt{2t/\pi}$，方差 $t(1-2/\pi)$，分布函数 $2\Phi(x/\sqrt t)-1$。

几何布朗运动 $X_t=e^{\alpha B_t}$：取值恒正，取对数后为正态，服从对数正态分布。矩 $$E[X_t]=e^{\alpha^2 t/2},\qquad E[X_t^2]=e^{2\alpha^2 t},\qquad \mathrm{Var}(X_t)=e^{2\alpha^2 t}-e^{\alpha^2 t}.$$ 股票价格非负，巴舍利耶直接用布朗运动给股价建模不妥，后来以几何布朗运动作为股价模型。

布朗桥 $X_t=B_t-tB_1$，$0\le t\le1$：端点固定 $X_0=X_1=0$，均值 0，方差 $t(1-t)$，协方差 $\min(s,t)(1-\max(s,t))$。与条件分布 $B_t\mid B_1=0$ 同分布；应用于 Kolmogorov-Smirnov 检验。

积分过程 $X_t=\int_0^tB_s\,ds$：路径连续，黎曼积分存在；黎曼和是正态线性组合，$X_t$ 正态，均值 0，方差 $t^3/3$。区别于对布朗运动积分的伊藤积分 $\int f_s\,dB_s$。

最大值与首中时

最大值与反射原理

最大值 $M_t=\max_{0\le s\le t}B_s$。对 $x\ge0$， $$P(M_t\ge x)=P(|B_t|\ge x)=2\left[1-\Phi\left(\frac{x}{\sqrt t}\right)\right].$$

反射原理的证明三步：终点等于 $x$ 的概率为 0；$\{B_t>x\}\subset\{M_t\ge x\}$；把首次击中 $x$ 之后的路径关于水平线 $y=x$ 反射，由对称性 $\{M_t\ge x,B_t<x\}$ 与 $\{M_t\ge x,B_t>x\}$ 概率相等。反射需要把坐标原点搬到随机时刻 $\tau_x$，用到比普通平移不变性更强的强马尔可夫性。

首中时的分布与期望

首中时 $\tau_a=\inf\{t:B_t=a\}$，$a>0$，是典型停时。股票价格涨到上限触发熔断，这一停止发生的时刻即停时。由 $\{\tau_a\le t\}=\{M_t\ge a\}$， $$P(\tau_a\le t)=2\left[1-\Phi\left(\frac{a}{\sqrt t}\right)\right],$$ 密度 $$f_{\tau_a}(t)=\frac{a}{\sqrt{2\pi t^3}}e^{-\frac{a^2}{2t}},\quad t>0.$$

两个反直觉性质：$P(\tau_a<\infty)=1$，不管 $a$ 多大，有限时间内几乎必然击中；$E[\tau_a]=\infty$，不管 $a$ 多小，平均击中时间都是无穷。直觉：布朗运动随时可能改变方向，快到达时仍可能掉头向下。与一维对称随机游动常返但平均返回时间无穷同理。

双屏障与斜线

双屏障定理：$a<0<b$， $$P(\tau_a<\tau_b)=\frac{b}{b-a},\qquad P(\tau_b<\tau_a)=\frac{|a|}{b+|a|}.$$ 与赌徒破产问题同构：公平赌博中甲赌本 $|a|$、乙赌本 $b$，甲先输光概率 $\frac{b}{b+|a|}$、先把对方赢光概率 $\frac{|a|}{b+|a|}$。证明需要鞅与可选停止性质。

斜线首达时 $\tau_{a,b}=\inf\{t:B_t=a+bt\}$，密度 $$f_{\tau_{a,b}}(t)=\frac{|a|}{\sqrt{2\pi t^3}}e^{-\frac{(a+bt)^2}{2t}},\quad t>0.$$ 把击斜线 $a+bt$ 化归为击水平线 $a$，用吉萨诺夫测度变换使带漂移的过程 $X_t=B_t-bt$ 在新测度下成为标准布朗运动。

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