金融计量模型课程导论

时间序列与时序图

时间序列（time series）：对同一目标在不同时间点观测得到的一系列数据。\(y_t\) 表示 \(t\) 时刻的观测值，样本记为 \(\{y_1,y_2,\ldots,y_T\}\)。观测之前 \(y_t\) 是随机变量，观测之后是它的一个实现。

时序图（time series plot）：横轴为时间、纵轴为数值的图，注明数据名称、时间区间与频率。处理任何时间序列之前先画时序图，图中读出的趋势、波动与异常特征，所选模型必须刻画。

宏观序列与金融序列形态不同。宏观序列观测频率低（CPI 月度、GDP 季度）、数据量小；金融序列观测频率高（日度乃至更高频）、数据量大。中国 GDP 年度数据呈持续上升趋势，标普 500 指数日度数据上升中伴随骤跌，美国失业率无持续趋势而波动大。

对数回报与结构变化

对数回报（log return）：\(r_t=\log P_t-\log P_{t-1}\)，即价格的一阶对数差分。简单回报（simple return）：\((P_t-P_{t-1})/P_{t-1}\)，即百分比变化。两者满足恒等式 \(r_t=\log(1+r_t^s)\)，无条件成立。简单回报很小时 \(r_t\approx r_t^s\)，达 20% 量级时偏差较大，使用恒等式转换。

结构变化（structural change）：同一序列在不同时间段呈现不同规律。美元/人民币汇率在 2008 年底至 2010 年中几乎成一条直线，对数回报基本为 0，对应次贷危机期间央行稳定汇率。处理结构变化分三步：识别断点（肉眼可见或统计检验）、分段建模、用经济背景解释原因。

分布特征：偏度、峰度与厚尾

偏度（skewness） 度量分布关于均值是否对称，\(\text{skew}=E[(Y-\mu)^3/\sigma^3]\)；对称分布偏度为 0，左偏为负、右偏为正。峰度（kurtosis） 度量尾部比正态厚还是薄，\(\text{kurt}=E[(Y-\mu)^4/\sigma^4]\)；正态分布峰度为 3，以 3 为参照判断厚尾。厚尾分布下极端值概率更大，更适合刻画资产回报率。

线性变换性质：\(Y=aX+b\) 时 \(\text{skew}(Y)=\text{sign}(a)\,\text{skew}(X)\)，\(\text{kurt}(Y)=\text{kurt}(X)\)。均值 0、方差 1 的标准化 t 分布是波动率建模常用的厚尾分布。Jarque-Bera 检验基于偏度与峰度构造统计量，原假设为正态。IBM 日度回报样本偏度为负、样本峰度 9.13，JB 统计量约 14000，拒绝正态性；月度回报偏度变号、峰度变小，更接近正态。

时间序列研究的三类问题

时间序列分析回答三类问题。预测：预测下月失业率、下季度 GDP 增速，股价预测最难。动态因果效应：估计利率变化对 GDP 增长当期与后续各期的影响，做法是建立 VAR 模型并计算脉冲响应函数。假设检验：检验经典金融理论，如股息价格比能否预测股票回报，回归式 \(r_{t+1}=\alpha+\beta\,dp_t+\text{controls}+\varepsilon_{t+1}\) 的解释变量只用 \(t\) 时刻及更早的信息。时间序列数据的标准误计算更复杂，t 统计量临界值不总等于 1.96，须按数据特征确定。

一元时间序列模型入门

白噪声（white noise）：均值 0、方差 \(\sigma^2\) 常数、任意 \(t\neq s\) 时协方差为 0 的序列。再加独立性为独立白噪声，再加正态性为高斯白噪声。白噪声没有时间相关性，是后续所有时间序列模型的冲击项。

滞后算子（lag operator）：\(Ly_t=y_{t-1}\)，\(L^k\) 把序列往前推 \(k\) 期，运算规则类似多项式。

MA(q) 模型：\(y_t=\mu+\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\cdots+\theta_q\varepsilon_{t-q}\)，白噪声当期与滞后项的线性组合。MA(1) 的均值为 \(\mu\)、方差 \((1+\theta_1^2)\sigma^2\)、一阶自协方差 \(\theta_1\sigma^2\)，常数项只影响均值。AR(p) 模型：\(y_t=c+\phi_1y_{t-1}+\cdots+\phi_py_{t-p}+\varepsilon_t\)，当期值由自身滞后值线性解释。ARMA(p,q) 是 AR 与 MA 的组合，\(q=0\) 退化为 AR(p)、\(p=0\) 退化为 MA(q)，是实证中最常用的时间序列模型。

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