向量自回归模型

多元弱平稳与互相关

多个序列往往互相影响，一个序列的历史值可帮助预测另一个。利差（term spread） 即长期利率减短期利率，经济衰退前大幅收窄，是预测 GDP 增长的先行指标。滞后 spread 对 growth 有预测力，历史 growth 对 spread 也有预测力，两个序列须放在一起建模。

多元弱平稳：K 维序列 $z_t=(y_t,x_t)'$ 的均值向量不随时间变化，方差矩阵不随时间变化，滞后 $k$ 阶自协方差只依赖 $k$。$z_t$ 平稳蕴含 $y_t$、$x_t$ 各自平稳，反之不成立——两个分量各自平稳不能保证向量平稳，交叉矩可能仍随时间变化。

互协方差矩阵 $\Gamma_k=\mathrm{cov}(z_t,z_{t-k})$，$k\neq 0$ 时一般不对称，且 $\Gamma_{-k}=\Gamma_k'$。$\Gamma_{12}(k)=\mathrm{cov}(y_t,x_{t-k})$ 度量 x 的过去对 y 当期的影响，$\Gamma_{21}(k)=\mathrm{cov}(x_t,y_{t-k})$ 度量 y 领先 x。互相关矩阵 $\rho_k=D^{-1}\Gamma_kD^{-1}$，$D$ 为标准差对角阵，对角元为各序列自身的 ACF。两个方向都显著即反馈关系，须联立建模；都不显著则分开建模。

结构式与简化式 VAR

结构式 VAR 显含当期互相影响。一阶结构式： $$y_t=c_{10}+b_{12,0}x_t+\beta_{11}y_{t-1}+\gamma_{11}x_{t-1}+\varepsilon_{yt}$$ $$x_t=c_{20}+b_{21,0}y_t+\beta_{21}y_{t-1}+\gamma_{21}x_{t-1}+\varepsilon_{xt}$$ 当期项 $b_{12,0}x_t$、$b_{21,0}y_t$ 刻画同期影响。$b_{12,0}\neq 0$ 时，$\varepsilon_{xt}$ 先影响 $x_t$ 再影响 $y_t$，$x_t$ 是 $y_t$ 方程的内生解释变量，结构式不能直接用 OLS。系数是否为零取决于经济背景：当期 GDP 增长可能影响当期货币供给，当期货币供给变化通常不影响当期真实 GDP，故常设货币方程中该项为 0。

简化式 VAR 把内生变量都移到左边、右边只留滞后项，左乘 $B_0^{-1}$ 得 $$z_t=\Pi_0+\Phi_1z_{t-1}+a_t,\qquad a_t=B_0^{-1}\varepsilon_t$$ 分量形式：$y_t=\phi_{10}+\phi_{11}y_{t-1}+\phi_{12}x_{t-1}+a_{1t}$，$x_t=\phi_{20}+\phi_{21}y_{t-1}+\phi_{22}x_{t-1}+a_{2t}$。简化式右边只有滞后值，与当期扰动不相关，可逐方程 OLS，但 $a_{1t}$、$a_{2t}$ 当期相关，OLS 只是一致而非有效。仅做预测时简化式足够；要结构解读（当期影响、结构性冲击的动态效应）须回到结构式。

识别问题：简化式可估参数 9 个（$\Pi_0$ 2 个、$\Phi_1$ 4 个、$\Sigma_a$ 3 个），结构式未知参数 10 个，9 个方程解 10 个未知数，缺 1 个识别条件。

识别策略：最优策略用经济理论补一个条件，case-by-case。理论不可用时用 Cholesky 分解（Sims 方法）：强制 $B_0$ 中某个当期系数为零，使 $B_0$ 为下三角且对角线上为 1。对可估的 $\Sigma_a$ 分解为 $\Sigma=LDL'$（$L$ 下三角、对角线 1，$D$ 对角），在该约束下分解唯一，$B_0=L^{-1}$，结构方差取自 $D$ 对角线，再代回反推全部结构参数。换一条路径只需交换变量顺序。其他路径：工具变量直接估计结构式，等式数多于未知数时用广义矩估计。

估计与模型选择

平稳性条件：VAR(1) 平稳当且仅当 $\det(I-\Phi_1\lambda)=0$ 的根全部在单位圆外，等价于 $\Phi_1$ 特征值模全部小于 1。K=2 时特征方程为 $(1-\phi_{11}\lambda)(1-\phi_{22}\lambda)-\phi_{12}\phi_{21}\lambda^2=0$。EViews 输出 AR 逆根图检查。

参数维数：k 维 VAR(p) 共 $k^2p+k$ 个参数。K=10、p=5 时 510 个参数，大系统需降维（因子模型、变量筛选、收缩或贝叶斯方法）。

估计方法：各方程回归元相同，可逐方程 OLS；更有效率为可行广义最小二乘（FGLS），利用残差估计方程间协方差；似不相关回归（SUR） 为一步迭代 FGLS，EViews 的 VAR 工具箱用迭代 FGLS。

模型选择：变量个数 K 由经济理论决定；滞后阶数 p 由信息准则决定， $$\text{AIC}(p)=\log|\hat\Sigma_p|+\frac{2(k^2p+k)}{T},\qquad \text{BIC}(p)=\log|\hat\Sigma_p|+\frac{(k^2p+k)\ln T}{T}$$ BIC 惩罚更重，选出的 p 一般不超过 AIC。growth 与 spread 数据中 AIC、FPE、LR 在 p=5 取最小，SC、HQ 在 p=2 取最小，按 AIC 取 VAR(5)；BIC 建议的 VAR(2) 残差诊断未通过。

预测、方差分解与脉冲响应

一步最优预测为条件均值 $\hat z_T(1)=\Phi_0+\Phi_1z_T$，预测误差 $a_{T+1}$，误差方差在同方差下即 $\Sigma$ 的对应元素。多步预测按递推进行，$h\le p$ 时用实际值补齐。预测误差方差分解把预测误差方差按正交化结构冲击分摊，得到各冲击的贡献比例，合计为 1。

脉冲响应函数（impulse response function, IRF）：单位冲击对变量当前及未来路径的动态影响。平稳 VAR 可写成 VMA(∞) 形式 $z_t=\mu+\sum_{s=0}^{\infty}\Psi_sa_{t-s}$，$\Psi_s=\Phi_1^s$，$\Psi_0=I$。结构冲击的 IRF 为 $\Pi_s=\Phi_1^sB_0^{-1}$，需先从简化式识别 $B_0^{-1}$。缩减式脉冲响应只是单位残差冲击的动态反应，给冲击以结构解释必须引入识别假设；Cholesky 分解隐含排在前面的变量当期不受后面变量冲击的因果排序，排序要有经济依据。

格兰杰因果检验

格兰杰因果（Granger causality） 基于预测能力定义：在已含 y 自身滞后的回归中，x 的滞后联合显著改进对 y 的预测，称 x Granger 导致 y。与真实因果是两个概念。二元 VAR(p) 检验 $H_0:\phi_{12}^1=\cdots=\phi_{12}^p=0$，用 F 或 Wald 统计量。矩阵语言：全部 $\Phi_i$ 为下三角等价于 z2 不 Granger 导致 z1；全部为对角阵等价于互不 Granger 导致。

块外生性检验是格兰杰因果在 K>2 时的推广，逐变量排除检验某变量全部滞后系数是否为零。滞后排除检验检验每一阶滞后的全部系数是否可剔除。多元混成检验（multivariate Portmanteau） $Q_k(m)\sim\chi^2(k^2m)$ 检验向量白噪声，对拟合 VAR 的残差自由度调整为 $\chi^2(k^2m-g)$。

growth 与 spread 实证：互相关图显示滞后 2—6 期显著为正（利差领先增长）、lead 列显著为负（增长领先利差），反馈关系成立。AIC 选 VAR(5)，AR 逆根落在单位圆内。格兰杰检验双向拒绝：spread 5 阶滞后对 growth 方程 Chi-sq(5)=14.08、p=0.015，growth 对 spread 方程 Chi-sq(5)=23.26、p=0.0003。滞后排除检验显示 growth 方程第 3、4、5 阶滞后单独可排除，但第 3、5 阶 Joint 显著，整阶砍掉会破坏设定，保留 VAR(5)。

三变量 VAR 中，spread 与 spread2 在 growth 方程单独都不显著、联合却显著（All p=0.014）。两个变量都是期限利差，携带高度重叠的同质信息，在已含其一的情况下另一个的增量预测力有限；联合检验 8 个系数同时为零须用系统估计完成。

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