协整与误差修正模型

长期均衡与协整定义

长期均衡：$z_t=(z_{1t},\ldots,z_{kt})'\sim I(1)$，系统处于长期均衡当 $\beta_0'z_t=\beta_{0,1}z_{1t}+\cdots+\beta_{0,k}z_{kt}=0$。对均衡的偏离称均衡误差 $e_t=\beta_0'z_t$，均衡要有意义，$e_t$ 必须平稳（I(0)）。

协整（cointegration）：存在 $k\times1$ 向量 $\beta_0$ 使 $\beta_0'z_t\sim I(0)$。协整要求 $z_t$ 各分量均为 I(1)，I(0) 变量与 I(1) 变量之间不存在协整。存在长期均衡关系的 I(1) 序列不会漂移得太远，经济力量把系统拉回均衡。美国 3 个月与 6 个月 T-bill 利率走势几乎重合：单个利率是 I(1)，两者之差（利差）却是平稳的，是协整的典型形态。均衡误差 $e_t$ 刻画系统偏离均衡的程度，是误差修正模型中驱动短期调整的核心变量。

协整向量不唯一：对任意非零标量 $c$，$c\beta_0'z_t$ 同样平稳。常用标准化 $\beta_0=(1,-\beta_{0,2},\ldots,-\beta_{0,k})'$，把 $z_{1t}$ 写成其余变量的函数： $$\beta_0'z_t=z_{1t}-\beta_{0,2}z_{2t}-\cdots-\beta_{0,k}z_{kt}=e_t\sim I(0)$$

多重协整：可能存在 $m$ 个线性无关协整向量（$1\le m\le k-1$），任意线性组合仍是协整向量，$\{\beta_1,\ldots,\beta_m\}$ 构成协整向量空间的基。三个期限利率 $r_1,r_2,r_3$ 中 $r_2-r_1$ 与 $r_3-r_1$ 都平稳时，存在两个协整向量，$m=2=k-1$。

单整运算事实：I(0)+I(0)=I(0)，I(0)+I(1)=I(1)，I(1)+I(1) 结果不确定——可能仍为 I(1)，也可能因协整降为 I(0)。

协整与伪回归

两个 I(1) 变量直接回归分三种结果。两者均 I(1) 且残差仍 I(1) 时为伪回归（spurious regression）：两条独立的 I(1) 序列在样本期内可能表现出共同走势，回归得到高 $R^2$ 与显著的 t 值，但残差仍非平稳，OLS 不一致，常规推断失效。两者均 I(1) 且残差 I(0) 时为协整，回归关系真实存在。

蒙特卡洛模拟显示协整情形下回归系数估计量的分布明显左偏，与正态相差甚远，常规 t、F 检验失效，须用专门临界值。模拟时序图直观对照：协整序列贴着走，不协整序列各走各的。

构造例辨析协整关系。例 1：两条独立随机游走 $y_t=y_{t-1}+\epsilon_{1t}$、$x_t=x_{t-1}+\epsilon_{2t}$ 的任何线性组合仍含两个独立趋势，不协整。例 2：$y_t=0.8v_t+\epsilon_{yt}$、$x_t=v_t+\epsilon_{xt}$（$v_t$ 随机游走，误差独立）时 $y_t-0.8x_t=\epsilon_{yt}-0.8\epsilon_{xt}$ 平稳，协整向量 $(1,-0.8)'$，共同趋势 1 个。例 3：三个序列由同一 $v_t$ 驱动且误差独立时，任意两个之间两两不协整，三个放在一起协整，$m=2$、共同趋势 1 个。例 4：$y_t=v_t+\epsilon_{yt}$、$x_t=u_t+\epsilon_{xt}$、$w_t=v_t+u_t+\epsilon_{wt}$（$v_t,u_t$ 独立随机游走）时两两均不协整，但 $w_t-y_t-x_t$ 平稳，协整向量 $(-1,-1,1)'$，共同趋势 2 个。

共同趋势与多重协整

Stock-Watson 共同趋势关系：$K=M+$ 独立随机趋势个数，$K$ 为序列个数，$M$ 为协整关系数。协整的两个 I(1) 过程共享同一随机趋势，仅差常数倍。共同趋势定理：$y_t=v_t+e_{yt}$、$x_t=u_t+e_{xt}$（$v_t,u_t$ 为随机游走，$e$ 为平稳项）协整时 $v_t=\lambda u_t$，两个过程的新息完全相关，趋势成比例。

协整关系的个数 $m$ 决定系统的共同趋势个数：$m$ 越大，独立随机趋势越少，系统越受少数共同力量驱动；$m=k-1$ 时只剩 1 个共同趋势。

协整的检验

检验路径分两步。第一步对每个变量做单位根检验确定单整阶数，只有同为 I(1) 的变量才存在协整可能。第二步做水平回归并对残差做平稳性检验：残差平稳（I(0)）即协整成立，残差仍 I(1) 即伪回归。回归残差均值近似为零，对其做平稳性检验选 DF 检验 Case I（无截距）。回归方程两边单整阶数必须一致（balanced）：$z_{1t}$ 与右侧变量都应为 I(1)，线性组合才可能降到 I(0)。

经济金融中的经典协整关系：永久收入假说下消费与收入协整（收入为共同趋势），增长理论下收入、消费、投资协整（生产率为共同趋势），购买力平价下汇率与国内外价格协整，一价定律下同一资产跨市场同价，现货与期货价格由套利驱动协整。

误差修正模型

含单位根的二元 VAR(1) $z_t=\Phi_0+\Phi_1z_{t-1}+a_t$ 等价地写成 $$\Delta z_t=\Phi_0+\Pi z_{t-1}+a_t,\qquad \Pi\equiv\Phi_1-I$$ $z_t$ 含单位根意味着 $\lambda=1$ 是特征方程 $\det(I-\Phi_1\lambda)=0$ 的根，即 $\det(\Pi)=0$，$\Pi$ 奇异。K=2 时 rank(Π) 取 0 或 1。

Case 1：rank(Π)=0，$\Phi_1=I$，方程组有两个单位根，无协整、无共同趋势，模型退化为一次差分 VAR：$\Delta z_t=\Phi_0+a_t$。

Case 2：rank(Π)=1，存在协整。记 $\Phi_1=\begin{pmatrix}\phi_{11}&\phi_{12}\\\phi_{21}&\phi_{22}\end{pmatrix}$，$\Pi$ 的元素可表为 $\alpha_1=\phi_{11}-1$、$\beta_0=\phi_{12}/(1-\phi_{11})$、$\alpha_2=\phi_{21}$，模型写成误差修正模型（error correction model, ECM）： $$\Delta y_t=\phi_{10}+\alpha_1[y_{t-1}-\beta_0x_{t-1}]+a_{1t}$$ $$\Delta x_t=\phi_{20}+\alpha_2[y_{t-1}-\beta_0x_{t-1}]+a_{2t}$$ 方括号中 $e_{t-1}=y_{t-1}-\beta_0x_{t-1}$ 是上一期的均衡误差，系数 $\alpha_1$、$\alpha_2$ 为调整速度。上一期 $y$ 高于均衡时 $e_{t-1}>0$，一般 $\alpha_1<0$、$\alpha_2>0$，$\Delta y_t$ 回落、$\Delta x_t$ 上升，系统产生拉回力量。

ECM 的经济含义：系统变量的短期动态受均衡偏离的驱动。协整关系的经典来源是套利——现货与期货价格、即期与远期利率价差偏离均衡时，套利交易产生拉回力量。估计 ECM 即估计均衡参数 $\beta_0$ 与调整速度 $\alpha_1$、$\alpha_2$；调整速度的符号决定系统回归均衡的方向，绝对值决定回归的快慢。

格兰杰表示定理（Granger representation theorem）：对任意一组 I(1) 变量，误差修正表示与协整表示等价。

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