因子投资理论基础

CAPM 的实证困境

CAPM 声称单因子（市场因子）可以完全解释超额收益，但 60-70 年代的实证检验在横截面和时间序列两个层面都发现它不成立。

α 恒等式：定义

\[\alpha_i \equiv R_i - r_f - \beta_i(R_M - r_f)\]

等式必然成立；CAPM 是取 \(\alpha_i = 0\) 的特例。十几年实证发现 α 在截面与时间序列上都不为零。若 CAPM 成立，基金经理无活可干，买指数产品即可；α ≠ 0 时，α 是未被市场因子解释的部分，是主动管理者的施展空间。

对 α 建模的两条路：理论路（重新做一般均衡推导，比 CAPM 更难的「双因子一般均衡」）对基金经理不现实；实证路（从数据里找因子）从 80 年代开始成为主流。

乘积结构不可识别（identification）：α = β × risk premium，形如 \(a \times b = 10\)，有无穷多组解。量化投资的目标是对股票未来收益排序：目标 α（乘积）不变，β 与 risk premium 各自取多少不关心。「找因子」变成找近似（proxy）——只要找到与真实 factor loading 单调性一致的指标，排序结果就一致。预测排序比预测每只股票的具体收益率容易得多。小市值股票收益更高，市值本身可当市值因子 factor loading 的近似；市值用元还是万元衡量不影响排序，正说明它只是 proxy。

规模效应与市值因子

规模效应（size effect）：小市值股票收益高于大市值股票的现象。Keim（1981）、Banz（1981）把美股按市值从高到低分 10 组，每组按市值加权构建组合，历史平均超额收益从最小市值组的约 14% 单调降至最大市值组的约 7%。

CAPM 支持者的质疑：β 与 size 负相关。按 CAPM，β 越大收益越高；若小公司 β 大，观测到的「小市值—高收益」可能只是 β 的代理现象，不足以证明存在额外的 α。

Fama-French（1992）双分组（double sort）：同时按 β（10 组）与市值（10 组）分组，共 100 组。在每一组 β 内部，小市值组合收益仍高于大市值组合；固定住 β 之后趋势依然存在。结论：size 效应独立于 β 存在，收益中确实存在市场因子解释不了的 α，且这部分 α 至少有一部分可由市值因子解释。超额收益从「单因子完全解释」扩展为「有限个因子完全解释」，因子投资的大门由此打开。

因子有效性随时间变化：AQR（2012）《巴菲特的阿尔法》用 6 个因子把巴菲特的历史收益全部「解释」为贝塔；后来有学者把样本前段截掉、补入新数据后，6 个因子又解释不了巴菲特，α 重新出现。不存在百战百胜的因子。

APT 套利定价理论

APT（套利定价理论，Arbitrage Pricing Theory）：绕开一般均衡，仅用三条假设推出定价结论。

三大假设：一，实际收益服从因子结构：

\[r_{i,t} = \alpha_i + b_{i1}f_{1t} + \dots + b_{iK}f_{Kt} + \varepsilon_{it}\]

其中 \(b_{ik}\) 是因子载荷，\(f_k\) 是因子，\(\varepsilon_i\) 是特质性误差项。二，资产足够多，可构造充分分散化组合（well-diversified portfolio），特质性风险为零、风险和收益完全由因子决定。三，至少有一个投资者识别并持续套利，通过套利行为把机会消除。

定价方程：

\[E(r_i) = r_f + b_{i1}\lambda_1 + \dots + b_{iK}\lambda_K\]

\(\lambda_k\) 是第 k 个因子的风险补偿（factor risk premium）。没有无风险资产时写成 \(E(r_i) = \lambda_0 + \sum_k b_{ik}\lambda_k\)，\(\lambda_0\) 是共同截距项。若该方程对所有充分分散组合不成立，就存在套利机会。

因子模型与 APT 的区别：factor model 是结构假设——实际收益率（不是期望）服从

\[r_i = E(r_i) + b_{i,1}f_1 + \dots + b_{i,K}f_K + e_i\]

截距 \(E(r_i)\) 与特异项 \(e_i\) 随资产而变；APT 是定价结论——\(\lambda_j\) 不随资产变化。把 factor model 当成 APT 是常见误区。

「不说 K」的妙处：APT 只说明存在这样的线性因子结构、超额收益可被完全解释，却不告诉 K 是多少。解释不了就加因子，方程总成立。相信 CAPM 的投资策略是买指数基金、完全跟踪市场指数；相信 APT 的投资策略是不停地挖因子——挖到别人没挖到的因子，获得更高收益。

阿尔法与贝塔是相对的：α 是别人还没发现的 β。被大家知道的因子贡献是 β，没被发现的因子贡献就是 α。

套利（arbitrage）：两个资产若在未来每种状态下的 payoff 完全相同，就必须有相同价格；否则零成本赚取确定性收益。市场上不存在「免费午餐」。

定价方程为何必须成立：逻辑是反证——若定价方程对某个充分分散组合不成立，就可利用两个充分分散组合（同风险、不同收益）构造套利；无套利假设封死这条路，定价方程必须成立。

Apple 与 Starbucks 套利例子：无风险利率 \(r_f = 5\%\) 时，由 AAPL、SBUX 各自的反解式得出 \(\lambda_0 = 9.09\%\)，而无风险资产的因子载荷必为零、定价方程要求 \(\lambda_0 = r_f = 5\%\)，系统性风险的价格在各资产间不一致，套利机会出现。构造零载荷组合（买入 1.8182 元 AAPL、做空 0.8182 元 SBUX、借入 1 元），两种状态下股票部分回报相同，还本息后净赚 0.0409，零初始投入、任何状态下正回报。套利者不断套利推动价格调整、使 \(\lambda_0\) 回到 \(r_f\)，套利机会消失——这就是 APT「套利定价」的含义。

单因子模型

因子模型：实际收益服从因子结构 \(r_{i,t} = \alpha_i + \sum_k b_{ik}f_{kt} + \varepsilon_{it}\)。因子的两个核心特征——factor loading（随资产变化、用于排序选股）与 factor return（共同收益、用于归因分析）。

因子模型的两大实战用途：

预测收益——知道因子的 risk premium 与 factor loading 即得预期收益。宏观因子（因子收益已知）用时间序列回归逐期滚动估计 loading；风格因子（因子载荷有代理）用横截面回归估计 factor return。一个因子需同时具备两个特征，用于选股、归因与评价。

预测风险——全市场 4000 多只股票需估计 4000×4000 的方差-协方差矩阵（约 800 万个参数），灾难级；两因子模型下只需约 12,000 个参数。

方差分解：

\[\operatorname{Var}(r_i) = b_{i,1}^2\operatorname{Var}(f_1) + b_{i,2}^2\operatorname{Var}(f_2) + 2b_{i,1}b_{i,2}\operatorname{Cov}(f_1,f_2) + \sigma_{e,i}^2\]

其中 \(b_{i,1}^2\operatorname{Var}(f_1) + b_{i,2}^2\operatorname{Var}(f_2)\) 是系统性方差，\(\sigma_{e,i}^2\) 是特质方差。统计上通常假设因子正交，交叉项消失。

发现错误？想一起完善？在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：AI-PM Wiki Team
本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用