利率风险管理：久期与免疫

利率风险

期限错配：银行负债端是短期存款，资产端是长期贷款，两端期限不匹配。利率上升时资产价值缩水超过负债，银行净值受损。利率微小变化经久期放大成巨额损失。

硅谷银行 2023 年倒闭：2020 年降息加 QE 后银行把大量存款投向长期国债，2022-2023 年加息周期中债券暴跌，叠加客户集中在创投圈、未保险存款比例高，48 小时内从正常经营到倒闭。1994 年橙县破产：利率从 3% 升至 5.7%，县司库用结构化票据与杠杆押注利率不上行，一年损失 16 亿美元。Diamond-Dybvig（1983）模型说明挤兑机制：负面冲击使储户担心存款安全而提前取款，取款行为加剧他人担忧，形成自我实现预期。

久期定义

久期：证券价格对利率水平微小平行移动的负百分比敏感度：

\[D = -\frac{1}{P}\frac{dP}{dr}\]

三个要素：负号使久期为正；敏感度用价格对利率的一阶导数衡量；一阶导是切线，仅在小变化时精确，利率大变时需引入凸性。

零息债券久期：$D_Z = T - t$，即到期时间本身。

附息债券久期：$D = \sum w_i T_i$，权重 $w_i$ 为第 i 期现金流现值占债券价格之比。久期是平均收到现金流的时间，仅在现金流固定时成立。

浮动利率债券久期：$D_{FR} = T_{i+1} - t$，等于到下一次付息（重置）日的时间。下一期票息已由上一期利率锁定，面值在重置日回归面值，利率敏感性只体现在下一期。

组合久期：各证券久期按市值占比加权。票息率越高久期越短：中间票息比重更大，平均收款时间更近。

美元久期

美元久期：价格对利率的一阶导，$D^{\$}_{P} = -\frac{dP}{dr} = P \times D_P$。普通久期含 $1/P$，零投资组合净值不为正时失效，须用美元久期。多空组合的美元久期 $D^{\$}_{W} = \sum_i N_i D^{\$}_{i}$，多头为正、空头为负。

麦考利久期：$D^{Mc} = \sum w_j T_j$。修正久期：$MD = D^{Mc}/(1 + y/2)$。

例题：1 亿美元债券组合久期 10，利率上行 1 bp，损失 $10 \times 1亿 \times 0.01\% = 10$ 万美元。1 亿美元 5 年期 STRIPS（久期 5）损失 5 万美元；加 2 亿美元 10 年期 STRIPS 后组合久期 $= \frac{100}{300}\times 5 + \frac{200}{300}\times 10 = 8.3$，1 bp 上行损失 24.9 万美元。

久期与 VaR

风险价值 VaR：给定置信水平下的最大可能损失。设利率变化 $dr \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $dP \sim N(\mu_P, \sigma_P^2)$，其中 $\mu_P = -D_P P \mu$、$\sigma_P = -D_P P \sigma$。95% VaR = $-(\mu_P - 1.645\sigma_P)$。历史模拟法不假设分布，直接用利率历史序列画直方图、取左尾 5% 分位数。

VaR 的四个使用警告：

VaR 是统计测度，依赖分布假设与样本选择。
内部不一致：久期近似只适合小变化，VaR 关注大变化左尾。
VaR 只给出阈值，不说明超过阈值后的损失。期望损失 $ES = E[L_T \mid L_T > \text{VaR}]$ 度量尾部，Basel III 后银行须同时计算 ES。
一阶矩难估、二阶矩好估。波动聚集可用 GARCH 类模型刻画，实践中常令 $\mu_P = 0$，度量意外 VaR。

现金流匹配与免疫

现金流匹配：寻找现金流与负债完全反向的证券，利率变化对两者影响完全抵消。现实几乎不可行：很难找到逐笔对应的证券，即使找到也常质量差、成本高、流动性低。

免疫：不要求逐笔匹配，只要求组合现值与久期等于负债现值与久期。利率变化对资产与负债影响一致，净值不受利率变动影响。免疫允许选用流动性好、成本低的债券，构造灵活。久期随时间与利率变化，须定期再平衡；免疫只对小平行变化精确。

免疫的两个极端视角：100% 投资长期债，利率上升时债券价格下跌产生亏损；100% 持有现金，利率下降时失去增值机会并面临通胀侵蚀。免疫通过久期匹配选取两者之间的最优混合，使组合在利率双向变动下都足够稳健。

Ms. Caselli 案例：60 岁退休、100 万美元投资 30 年。只消费利息时，6 个月滚动方案在利率从 4% 降到 1% 时年利息从 4 万美元降到 1 万美元，30 年期固定票息收入稳定。同时消费本金时价格风险凸显：利率从 4% 升至 7%，30 年期债（久期 17.72）资本损失约 53 万美元。银行承诺支付年金（久期 12.35），用 30 年期债与隔夜存款构造组合：$x_0 \times 17.72 + (1-x_0) \times 0 = 12.35$，解得长期债比例 70%，每半年再平衡。

资产负债管理

权益久期：会计恒等式 $E = A - L$ 下，

\[D_E = \frac{A}{A-L} D_A - \frac{L}{A-L} D_L\]

资产久期远大于负债久期时，权益久期巨大且为正，利率变动使银行股本大幅波动。

降低权益久期的方法：发行长期债券拉长负债久期；增持现金、浮动利率债、短期国债稀释资产久期；用支付固定、收取浮动的互换把长期固定暴露换成短久期浮动暴露；资产证券化卖出长期资产；调整结构使 $D_A = \frac{L}{A} D_L$，权益久期趋于零。

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