利率风险管理：凸性

凸性定义

凸性：价格对利率的二阶导数除以价格，度量价格-利率曲线的弯曲程度：

\[C = \frac{1}{P}\frac{d^2P}{dr^2}\]

凸性不带负号：一阶导为负所以久期加负号，二阶导为正、曲线下凸。凸性与曲率作用对象不同：凸性研究价格对利率的二阶关系，曲率研究利率对到期时间的关系。

考虑凸性后的完整近似：

\[\frac{dP}{P} = -D\cdot dr + \frac{1}{2}C\cdot dr^2\]

基点级变动（0.01%）时 $dr^2$ 可忽略，只用久期；百分比级变动（1%、2%）时须保留凸性项。

零息债券凸性：$C_z = (T-t)^2$，即到期时间的平方。10 年期零息债 D = 10、C = 100。附息债券凸性：把债券看作零息债券组合，$C = \sum w_i (T_i - t)^2$。组合凸性：按市值权重加权。凸性与久期的计算同构：先算价格，再按现值权重对时间平方加权。零利差浮动债站在重置日时等效于半年后到期的零息债，凸性 = $0.5^2 = 0.25$；带利差浮动债把利差部分当固定付息债单独计算后合并。

计算例：10 年期 5% 半年付息债券，价格 103.58，久期 8.0309，凸性 73.8682。利率上升 1%：仅久期 $\frac{dP}{P} \approx -8.03\%$；加凸性修正后 $-7.66\%$，误差从约 0.4% 缩小到 0.03% 量级。20 年期零息债利率下降 2.5%：真实价格从 36.79 升至 60.65；仅久期近似给出 55.18，加凸性后 59.78，贴近真实值。

正凸性

正凸性：利率上升时价格下跌幅度小于久期预测，利率下降时价格上涨幅度大于久期预测。非对称性对持有者有利。

方向难测、幅度好测：$E[dr] \approx 0$，但 $E[dr^2] > 0$。若 $E[dr] = 0$，则 $E[dP/P] = \frac{1}{2}C\cdot E[dr^2] > 0$，凸性是期望收益的加成来源。

常见误区：凸性不是久期的变化率。10 年期零息债久期恒为 10，若凸性是久期变化则应为 0，实际凸性为 100。两者差一个 $1/P$ 价格项；研究两者直接联系应使用美元久期与美元凸性。

久期与凸性对冲

同时对冲两个风险源需要两个对冲证券。构造 $V = P + k_1 P_1 + k_2 P_2$，令 $dV = 0$：

\[k_1 D_1 P_1 + k_2 D_2 P_2 = -D\cdot P$$ $$k_1 C_1 P_1 + k_2 C_2 P_2 = -C\cdot P\]

解 2 × 2 线性方程组得 $k_1$、$k_2$，负值表示卖空。仅久期对冲（单资产）$k = -\frac{DP}{D_z P_z}$，利率变化大时误差急剧放大。数值对照：仅久期对冲（仓位 -1.3045）在利率变动 0.1% 时组合变动 -0.0003，2% 时 -0.1210；久期+凸性对冲（$k_1 = -0.4562$、$k_2 = -1.1737$）后 0.1% 时 0.0000，2% 时 0.0023，大变动下亏损减少约 100 倍。

凸性交易与时间维度

杠铃-子弹策略：做多杠铃组合（同持高久期与低久期资产、久期居中）+ 做空子弹组合（与杠铃同久期的单一中等久期资产）。久期成分抵消，留下正凸性暴露。

正凸性带来正的期望收益，但这不是套利机会。价格是时间的函数，利率不变时零息债券仅因时间流逝就增值；凸性收益与时间流逝收益互相抵消。不同到期时间债券的滚动收益不同，凸性收益对应承担期限相关风险。

斜率、曲率与因子模型

久期对冲假设期限结构平移。现实中各期限利率变动幅度不同，非平移变化由两个度量刻画：期限利差 = 长期收益率 − 短期收益率，捕捉斜率；蝶式利差 = 2 × 中期收益率 − 短期收益率 − 长期收益率，捕捉曲率。

主成分分析显示不同期限利率的变动由三个共同因子驱动：水平、斜率、曲率，前三个主成分解释超过 90% 的共同变动。

因子模型：

\[dr_i = \sum_{j=1}^{m}\beta_{ij}d\phi_j\]

$\beta_{ij}$ 是利率 i 对因子 j 的载荷。降维思想与 Fama-French 三因子把数千只股票变动降为 3 个因子一致。

因子久期：$D_j = -\frac{1}{P}\frac{dP}{d\phi_j}$，度量因子 j 变动对价格的影响。附息债券因子久期 $D_j = \sum w_i(T_i-t)\beta_{ij}$。只有一个水平因子、所有 $\beta = 1$ 时，因子模型退化为平行移动，因子久期回到普通久期。算例：4 年期零息债的 level 因子久期 = $4 \times \beta_{Level}(4年)$，$\beta_{Level}$ 在 3 年与 5 年分别为 1.0299 与 1.0180，插值得 1.024，level 因子久期约 4.10。

因子中性对冲：每个要对冲的因子对应一个对冲证券。对冲水平与斜率两个因子需短端、长端两个零息债券；对冲三个因子需要三个资产。$\beta$ 由历史数据回归估计，缺失期限用相邻期限线性插值。

2004 年 4 月案例：固定收益基金持有 1 亿美元票息 3.875%、2013 年到期的附息债券，用 0.87 年零息债做久期对冲。4 月 1 日到 4 月 15 日曲线非平移上移，长端从 3.86% 升至 4.43%、短端从 1.00% 升至 1.12%。只用短期债券对冲只能覆盖短端，长端损失无法补偿。

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