利率树模型：Ho-Lee 与 BDT

Ho-Lee 模型

Ho-Lee 模型：在利率随机游走上生成的风险中性利率树：

\[r_{i+1,j} = r_{i,j} + \theta_i \cdot \Delta + \sigma\sqrt{\Delta}, \qquad r_{i+1,j+1} = r_{i,j} + \theta_i \cdot \Delta - \sigma\sqrt{\Delta}, \qquad p^* = \tfrac12\]

下一期利率 = 上一期利率 + 平均变化 + 随机扰动。扰动用 \(\sqrt{\Delta}\)：方差随时间线性增长，标准差与 \(\sqrt{\Delta}\) 成比例。

参数拟合：漂移项 \(\theta_i\) 逐期选择，使树生成的各期零息债券价格与市场完全一致；波动率 \(\sigma\) 从历史利率变化估计，不需搜索。示例：2002-01-08 数据，\(r_0 = 1.74\%\)，2 年期零息债市场价 97.8925，解得 \(\theta_0 = 1.5674\%\)，\(r_{1,0} = 3.75\%\)、\(r_{1,1} = 1.30\%\)。

模型缺陷：模型对利率无任何限制，步数足够多时利率会碰到 0 甚至负值。名义利率有零下限，负利率节点获得权重会系统性错价产品。

Simple BDT 模型

Simple BDT 模型：对利率取自然对数建模，保证利率恒为正：

\[z_{i,j} = \ln(r_{i,j}), \qquad z_{i+1,j} = z_{i,j} + \theta_i\Delta + \sigma\sqrt{\Delta}\]

\(z_{i,j}\) 可以为负，\(r_{i,j} = e^{z_{i,j}}\) 恒正。\(\sigma\) 是对数利率的波动率，从 log 利率序列估计。拟合流程与 Ho-Lee 相同：逐期选 \(\theta_i\) 匹配零息债券价格。

两模型比较

两模型都通过逐期选漂移项拟合利率期限结构，定价零息债券给出相同结果。隐含的风险中性利率分布形状不同：

Ho-Lee：近似对称（正态）分布，给负利率非零概率质量，低利率区间分到可观权重。
Simple BDT：对数正态、右偏分布，利率低于 1% 基本零概率质量，高利率区间概率质量更高。

对债券定价无影响；对非对称支付结构的证券（如期权）影响显著。

结构性债券案例：payoff \(V_T = \max(11 \times 100 \times r_T, 94)\)，利率低于 8.55% 时只支付本金 94%。Ho-Lee 树价 80.0645，Simple BDT 树价 78.9135。BDT 给高利率更多概率权重、payoff 随利率上升，理应价格更高；但高利率同时意味着更高贴现率，贴现效应超过预期收益效应。

风险评估须用真实概率。风险中性树只用于无套利定价，度量 VaR、预期损失须用真实概率。

含中间现金流的证券

中间现金流：附息债券、互换等每期支付。已知现金流直接加入递推式：

\[P_{i,j} = e^{-r_{i,j}\Delta}\left[\tfrac12 P_{i+1,j} + \tfrac12 P_{i+1,j+1} + CF(i+1)\right]\]

\(CF(i+1)\) 确定支付、与节点无关，不加概率权重。

Caps 与 Floors：普通欧式 cap 在各支付日支付 \(CF(T_i) = \Delta \cdot N \cdot \max(r_n(T_i - \Delta) - r_K, 0)\)；floor 方向相反。cap 像每期支付的互换加看涨期权，每个单期现金流称 caplet。

定价 cap 需要两棵树。\(T_i\) 的现金流由前一节点 \(T_i - \Delta\) 的利率决定、到 \(T_i\) 才支付，须先建现金流树确定现金流何时确定、何时支付，再建价值树递推折现。树上利率是连续复利，\(r_n(i,j) = n(e^{r_{i,j}\Delta} - 1)\) 先折算再算 caplet。算例：1.5 年期 cap，执行利率 2.5%、名义本金 100，现金流树逐节点计算 caplet 后倒推价值树，得 \(V_0 = 0.647\)；5 年期 cap 为 9.44。

互换定价：固定换浮动互换在 \(T_i\) 的现金流 \(CF(T_i) = \Delta \cdot N \cdot (r_n(T_i - \Delta) - c)\)。互换利率由零息债券价格算出，\(c = \frac{1}{2}\cdot\frac{1-Z(0,10)}{\sum_{i=1}^{10}Z(0,i)}\)。互换起始日价值为 0，可作为树定价正确性的检验。

互换期权：买方有权在指定时间进入互换。receiver swaption 行权后收取固定利率；payer swaption 行权后支付固定利率。定价：先算底层互换在树上各节点的价值，行权时刻 payoff = \(\max(V_{T,j}(k,r_K), 0)\)，再沿树贴现。

隐含波动率

已实现波动率：用历史利率变化序列算的标准差，事后指标。Ho-Lee 用 \(\sigma = \mathrm{std.dev}(r_{t+\Delta} - r_t)\)，Simple BDT 用 \(\sigma = \mathrm{std.dev}(\ln r_{t+\Delta} - \ln r_t)\)。

隐含波动率：选择波动率水平使模型价格等于市场观测价格，是事前、前瞻指标。隐含波动率依赖模型：用不同模型反推的结果不同，模型设定错了隐含波动率就错了。模型无关的替代是 VIX 指数。

单一常数 \(\sigma\) 无法匹配所有期限的 cap 价格。对每只 cap 单独匹配 \(\sigma\) 得到隐含平值波动率曲线；更细的构造给出远期波动率。

完整版 BDT：允许 \(\sigma_i\) 随时间变化，可同时精确拟合所有零息债券与所有期限的 cap。\(\sigma_i \neq \sigma_j\) 时树不再重合。解法：直接估计每期顶部节点利率 \(z_{i+1,0}\)，再由 \(z_{i,j+1} = z_{i,j} - 2\sigma_i\sqrt{\Delta}\) 恢复该期所有节点，树自动重合。

期货的风险中性定价

期货每日盯市，每期利润 = \(N \times (F_{i+1}(k) - F_i(k))\)。风险中性下预期利润必须为 0，否则投资者买卖期货推高或压低价格直至利润归零：

\[F_{i,j} = \tfrac12 F_{i+1,j} + \tfrac12 F_{i+1,j+1}\]

期货递推不含折现，与债券递推不同。到期时收敛于标的。欧洲美元期货报价 \(F_{i,j}(k) = 100 - f_{i,j}(k)\)。

国债期货空头隐含三种交割期权：质量期权（多种债券可交割，空头选最便宜的 CTD）、野卡期权（交割月内 2pm 停盘后至 8pm 仍可交割，每天一个约 6 小时的期权）、月末期权（最后 7 个工作日停止交易但仍可交割至最后交易日）。

发现错误？想一起完善？在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：AI-PM Wiki Team
本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用