期权定价：布莱克-舒尔斯-默顿模型

随机过程

随机过程（stochastic process）：变量随时间变化的不确定过程，金融用它描述价格如何随时间演变。随机游走指价格每一步变化独立同分布，历史价格不携带可预测信息。马尔可夫性质：价格未来走势只与当前价格有关，与过去的历史无关，与弱式有效市场一致。

标准布朗运动

标准布朗运动 \(z(t)\) 满足四个条件：

\(z(0) = 0\) 几乎必然；
增量服从正态分布：对 \(t > s\)，\(z(t) - z(s) \sim N(0, t-s)\)；
增量独立：不同时间段的 \(z(t) - z(s)\) 相互独立；
样本路径连续。

离散化写法：\(\Delta z = \varepsilon \sqrt{\Delta t}\)，\(\varepsilon \sim N(0,1)\)，均值 \(E[\Delta z] = 0\)、方差 \(V[\Delta z] = \Delta t\)。当 \(\Delta t \to 0\) 时写成微分形式 \(dz = \varepsilon \sqrt{dt}\)。

伊藤引理

普通布朗运动：\(dx = a\,dt + b\,dz\)，其中 \(a\) 为漂移率（单位时间的期望变化），\(b^2\) 为方差率。

伊藤扩散：\(dX_t = a(X_t, t)\,dt + b(X_t, t)\,dz\)，漂移系数与扩散系数允许依赖当前状态与时间。

伊藤引理：设 \(X\) 服从 \(dX = a\,dt + b\,dz\)，\(G(X,t)\) 是 \(X\) 与 \(t\) 的二次可微函数，则

\[dG = \left(\frac{\partial G}{\partial t} + \frac{\partial G}{\partial x}\,a + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}\,b^2\right)dt + \frac{\partial G}{\partial x}\,b\,dz\]

随机微积分多出一项 \(\frac{1}{2}G_{xx}b^2\)（来自 \(dz^2 \to dt\) 的二次变差），这是与普通微积分最大的区别。

几何布朗运动

几何布朗运动（GBM）：股票价格的标准模型

\[dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dz\]

离散化 \(\frac{\Delta S}{S} = \mu\,\Delta t + \sigma\,\varepsilon\sqrt{\Delta t}\)；\(\mu\) 为期望收益率，\(\sigma\) 为波动率（年波动率的常见范围 0.2 至 0.4）。GBM 下收益率为正态、价格永远为正；普通布朗运动下价格可能为负，与股票有限责任矛盾，因此漂移与方差应与价格水平成比例。

例：股票对数价格。令 \(G = \ln S\)，由伊藤引理得

\[d\ln S = \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)dt + \sigma\,dz,\qquad \ln S_T = \ln S_0 + \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma z_T\]

即对数价格是漂移为 \(\mu - \sigma^2/2\) 的普通布朗运动，价格本身服从对数正态分布。\(\mu\) 是短期的算术期望收益，\(\mu - \sigma^2/2\) 是连续复利下的年化期望收益；波动率越高，二者差距越大。

BSM 微分方程

设 \(f\) 是依赖于 \(S\) 的衍生证券价格。为消除随机项，构造 1 单位衍生证券空头加 \(\frac{\partial f}{\partial S}\) 单位标的证券多头的组合 \(\Pi = -f + \frac{\partial f}{\partial S}S\)；随机项恰好抵消后，无套利条件要求 \(\Delta\Pi = r\Pi\,\Delta t\)，整理得到 BSM 微分方程：

\[\frac{\partial f}{\partial t} + rS\frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = rf\]

边界条件 \(f(T) = \max(S(T) - K, 0)\)。该方程适用于价格只依赖 \(S\) 的所有衍生证券，不同衍生证券只差边界条件。美式期权涉及停止时间，只能数值求解。

风险中性定价

由 BSM 微分方程，衍生证券价值与投资者的风险偏好无关，可假装所有投资者风险中性。风险中性定价三步法：

假设标的股票价格的期望收益率等于无风险利率 \(r\)；
计算期权的期望回报 \(\hat{E}[\max(S_T - K, 0)]\)；
按无风险利率贴现：\(c = e^{-r(T-t)}\hat{E}\left[\max(S_T - K, 0)\right]\)。

自洽性检验：远期合约到期价值 \(S_T - K\)，风险中性定价给出 \(f = S - Ke^{-r(T-t)}\)，与无套利定价结果一致。

BSM 定价公式：

\[c = S_0 N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2),\qquad p = Ke^{-rT}N(-d_2) - S_0 N(-d_1)\]

\[d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}},\qquad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}\]

\(N(x)\) 为标准正态分布累积概率。\(N(d_1)\) 是风险中性测度下 \(S_T > K\) 的概率；看涨期权等价于股票加负债的组合，\(SN(d_1)\) 是股票市值，\(-e^{-r(T-t)}KN(d_2)\) 是负债价值。标的已知收益现值 \(I\) 时，用 \(S - I\) 替换 \(S\)；标的按连续复利固定收益率 \(q\) 分红时，用 \(Se^{-q(T-t)}\) 替换 \(S\)。欧式期货期权用远期价格 \(F\) 替换 \(S\)，与 Black 公式同构。

算例：\(S_t = 50\) 元、\(r = 12\%\)、\(\sigma = 10\%\)、\(K = 50\)、\(T = 1\) 年。\(d_1 = \frac{\ln(50/50) + (0.12 + 0.005)}{0.1} = 1.25\)，\(d_2 = 1.15\)；\(N(1.25) = 0.8944\)，\(N(1.15) = 0.8749\)。\(c = 50 \times 0.8944 - 50 \times 0.8749e^{-0.12} = 5.92\) 元，\(p = 50 \times (1-0.8749)e^{-0.12} - 50 \times (1-0.8944) = 0.27\) 元。平价状态看涨明显贵于看跌，因为无风险利率高、期限长，持有现金的利息成本使看涨更有价值。

BSM 模型的假设与适用

BSM 的八个基本假设：不存在无风险套利机会；允许卖空标的证券；没有交易费用和税收；证券交易连续、价格变动连续；所有证券完全可分；股票价格遵循几何布朗运动（\(\mu\) 和 \(\sigma\) 为常数）；无风险利率为常数；标的股票无红利。

中国市场用 Black 公式：中国场内欧式期权市场用 BSM 时常出现负的隐含波动率，因现货卖空受限、现货交易费较高，BSM 的"无套利、可复制"假设不成立。Black 公式以远期价格 \(F\) 代替现货 \(S\)：

\[c_t = e^{-r(T-t)}\left[F_t N(d_1) - KN(d_2)\right],\qquad p_t = e^{-r(T-t)}\left[KN(-d_2) - F_t N(-d_1)\right]\]

Black 公式的隐含波动率曲线呈微笑形状，BSM 的隐含波动率不呈微笑。

波动率与 VIX

波动率：1 年连续复利收益率的标准差，时间 \(\Delta t\) 内收益标准差为 \(\sigma\sqrt{\Delta t}\)。股价 50 美元、年波动率 25%，一周价格变化的标准差 \(50 \times 0.25 \times \sqrt{1/52} \approx 1.73\) 美元。

历史波动率估计：取间隔 \(\tau\) 年的观测，计算连续复利收益率 \(u_i = \ln(S_i/S_{i-1})\)，求标准差 \(s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(u_i - \bar{u})^2}\)，年化 \(\hat{\sigma} = s/\sqrt{\tau}\)（日数据 \(\tau = 1/252\)，年化乘 \(\sqrt{252}\)）。波动率不恒定，需动态建模：GARCH(1,1) 把当前方差回归到滞后平方收益与滞后方差，EWMA 是其特例。

隐含波动率（IV）：使 Black-Scholes 理论价格等于市场价格的波动率，与价格一一对应。交易员与经纪商习惯报 IV 而不报美元价格，因为报价更稳定、跨期限可比。

VIX：CBOE 发布的隐含波动率指数，最流行的是标普 500 的 30 天隐含波动率，由 SPX 期权价格反推。VIX 是前瞻性指标，水平反映市场不确定程度；1990-2020 年收盘区间介于 9.14 与 82.69（82.69 为 2020 年疫情冲击时的高点）。VIX 与标普 500 大致反向，但并非总成立；指数本身不可直接交易，CBOE 上市 VIX 期货与期权供投资者获得波动率敞口。

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