期权定价数值方法

BSM 公式只能处理欧式期权。美式期权与路径依赖期权用三种数值方法：二叉树、蒙特卡洛模拟、有限差分。三种方法本质都是"倒推 + 离散化"，适用场景不同：二叉树适合美式期权，蒙特卡洛擅长多标的与路径依赖，有限差分介于两者之间。

二叉树

单期二叉树定价

无套利定价：构造无风险组合——买入 \(\Delta\) 份股票、卖出一份看涨期权，使组合在两个未来状态（股价上升至 \(Su\)、下降至 \(Sd\)）下价值相同：

\[\Delta = \frac{f_u - f_d}{Su - Sd}\]

\(\Delta\) 是期权价格—股票价格曲线的切线斜率，即期权价值对股价的一阶偏导数，也就是希腊字母 Delta。期权价值 \(f = S\Delta - (Su\Delta - f_u)e^{-rT}\)。

风险中性定价：风险中性世界里股票期望收益率等于无风险利率 \(r\)，上行概率 \(p\) 满足 \(e^{r\Delta t}S = pSu + (1-p)Sd\)，解得

\[p = \frac{e^{r\Delta t} - d}{u - d},\qquad f = e^{-r\Delta t}\big[p\,f_u + (1-p)\,f_d\big]\]

\(p\) 是风险中性概率，与实际概率无关，实际概率完全不进入模型。两种方法推导出的期权价值完全相同。算例：\(S = 20\)、\(K = 21\)、3 个月、\(u = 1.1\)、\(d = 0.9\)、\(r = 12\%\)，无套利法得 \(f = 0.633\)；风险中性法 \(p = \frac{e^{0.03} - 0.9}{0.2} = 0.6523\)，\(f = e^{-0.03} \times 0.6523 = 0.633\)，两法结果一致。

CRR 参数与倒推

CRR 参数（Cox-Ross-Rubinstein）：令 \(u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\)、\(d = e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}} = 1/u\)，于是 \(ud = 1\)，树上节点重合：\(n\) 步后只有 \(n+1\) 个不同节点，计算量大幅下降。

倒推定价法：从到期日开始，由终端价值向前逐期递推：

\[f_{i,j} = e^{-r\Delta t}\big[p\,f_{i+1,j+1} + (1-p)\,f_{i+1,j}\big]\]

美式期权每个节点取"立即执行"与"继续持有（折现值）"的较大者：

\[f_{i,j} = \max\Big[X - S_{i,j},\ e^{-r\Delta t}\big[p\,f_{i+1,j+1} + (1-p)\,f_{i+1,j}\big]\Big]\]

提前执行权利有价值，这正是美式期权比欧式贵的原因。两步美式看跌例（\(S_0 = 50\)、\(K = 52\)、\(u = 1.2\)、\(d = 0.8\)、\(p = 0.5\)）：节点 \(C(40)\) 继续持有折现值 9.4636，立即执行得 12，取 12；起点 \(A(50)\) 继续持有折现值 5.0894，立即执行得 2，取 5.0894；若为欧式只有 4.1923。

红利处理三种情形：连续红利率 \(q\) 时把 \(e^{r\Delta t}\) 换成 \(e^{(r-q)\Delta t}\)；离散红利收益率 \(\delta\) 时在除权日节点股价乘 \((1-\delta)\)；已知红利额 \(D\) 时把股价拆成"无红利部分 + 红利现值"再建树。

三叉树与树图改进

三叉树每节点分上升/中间/下降三个分支：

\[u = e^{\sigma\sqrt{3\Delta t}},\quad d = 1/u\]

\[p_u = \frac{1}{6} + \sqrt{\frac{\Delta t}{12\sigma^2}}\left(r - q - \frac{\sigma^2}{2}\right),\quad p_d = \frac{1}{6} - \sqrt{\frac{\Delta t}{12\sigma^2}}\left(r - q - \frac{\sigma^2}{2}\right),\quad p_m = \frac{2}{3}\]

中间概率最大（⅔），与"重点抽样"思想相通。适应性网状模型在股价接近执行价、临近到期且提前执行可能性大的区域把时间步长进一步细分。隐含树用市场上期权价格信息反推出资产价格树，方向为向前推。

树中的希腊字母：Delta 用相邻节点差分估计 \(\Delta = (f_u - f_d)/(Su - Sd)\)；Gamma 用 \(2\Delta t\) 时刻三个节点；Theta 取 \(0\) 时刻与 \(2\Delta t\) 时刻中心节点之差除以 \(2\Delta t\)；Vega 重新构建 \(\sigma + \Delta\sigma\) 的树得到 \(f^*\)，\(\nu = (f^* - f)/\Delta\sigma\)。

控制方差技术：用同一数值方法计算欧式期权 \(f_E\)，与欧式期权解析解 \(f_{BSM}\) 比较得出数值误差，修正美式期权估计：\(f_A + f_{BSM} - f_E\)。该技术可应用于二叉树、蒙特卡洛与有限差分方法。

蒙特卡洛模拟

基本思想：期权价值归结为"风险中性世界中期权到期回报期望值的折现"。做法：模拟风险中性世界中标的资产的一条随机路径；计算该路径下的期权回报；重复多次取样本回报均值作为期望估计；按无风险利率折现得期权价值。

路径模拟公式：风险中性世界中 \(d\ln S = (r - q - \sigma^2/2)dt + \sigma dz\)，离散化为

\[S(t+\Delta t) = S(t)\exp\!\left[\left(r - q - \frac{\sigma^2}{2}\right)\Delta t + \sigma\varepsilon\sqrt{\Delta t}\right],\qquad \varepsilon \sim N(0,1)\]

多标的与相关性：对两个相关性为 \(\rho\) 的正态变量，先抽独立样本 \(x_1, x_2\)，令 \(\varepsilon_1 = x_1\)、\(\varepsilon_2 = \rho x_1 + x_2\sqrt{1-\rho^2}\)，这等价于乔尔斯基分解。

模拟次数与精度：\(M\) 次模拟的估计值标准误差为 \(\omega/\sqrt{M}\)，常用 \(M = 100{,}000\) 达到 95% 置信。

方差缩减技术：对偶变量技术（抽 \(\varepsilon\) 的同时抽 \(-\varepsilon\) 配对，约相当于节省一半计算）、控制方差技术、重点抽样（在重要区域加密抽样）、间隔抽样、样本矩匹配法、准随机序列抽样法。

优缺点：优点——回报依赖最终价值的欧式期权与依赖路径的期权（如亚式期权）都可处理，可推广到多个标的变量；缺点——难以处理提前执行（美式期权），达到一定精度需要大量模拟。

有限差分方法

基本思想：把 BSM 偏微分方程离散化。构建网格，横轴为时间 \(0, \Delta t, 2\Delta t, \dots, T\)，纵轴为资产价格 \(\Delta S, 2\Delta S, \dots, M\Delta S\)，节点 \((i,j)\) 对应时刻 \(i\Delta t\)、价格 \(j\Delta S\)。二阶导数用中心差分：

\[\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = \frac{f_{i,j+1}+f_{i,j-1}-2f_{i,j}}{\Delta S^2}\]

隐式有限差分把差分代入 BSM 方程，整理成 \(a_j f_{i,j-1} + b_j f_{i,j} + c_j f_{i,j+1} = f_{i+1,j}\)。当前时刻的期权值由下一时刻三个相邻格点"反向"确定，需解大型联立方程组。隐式方法始终有效、无条件稳定。

显式有限差分反过来把当前点写成下一时刻三个点的加权和 \(f_{i,j} = a_j^* f_{i+1,j-1} + b_j^* f_{i+1,j} + c_j^* f_{i+1,j+1}\)，系数可理解为"概率"，与三叉树形式完全对应，直接迭代计算。缺点是当系数出现负值时方法不稳定：股价高于 65 时（\(j \geq 13\)）系数为负，网格左上角出现负期权值。

边界条件（以看跌期权为例）：到期边界 \(f_{N,j} = \max[X - S_T, 0]\)；价格下边界 \(S = 0\) 时 \(f_{i,0} = X\)（看跌必然执行）；价格上边界 \(S = S_{max}\) 时 \(f_{i,M} = 0\)（股价足够高则看跌一文不值）。

模型扩展

CEV 模型（常弹性方差）：\(dS = (r-q)S\,dt + \sigma S^{\alpha}dz\)，波动率随股价水平变化（杠杆效应）。

随机波动率模型：

\[\frac{dS}{S} = (r-q)dt + \sqrt{V}\,dz_S,\qquad dV = a(V_L - V)dt + \xi V^{\alpha}dz_V\]

漂移项把方差率 \(V\) 拉回长期水平 \(V_L\)（均值回归），Heston 模型即其特例；EWMA 与 GARCH(1,1) 是刻画随机波动率的另类方法。

跳扩散模型：连续扩散叠加泊松过程驱动的跳跃，跳跃次数服从泊松分布，跳跃幅度服从正态分布。

工具：DerivaGem 可交互演示二叉树；Matlab 金融工具箱提供二叉树 app、闭式解函数与蒙特卡洛函数（Basket、Barrier、Asian、Lookback、Spread 期权及 Longstaff-Schwartz 最小二乘估计美式期权）。

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